105
правок
Изменения
м
Перенаправление на Алгоритм Тарьяна поиска LCA за O(1) в оффлайн
#перенаправление [[Алгоритм Тарьяна позволяет находить наименьшего общего предка двух вершин в дереве, если все запросы известны заранее(offline).Каждый запрос к дереву - это 2 вершины v,u для которых нужно найти такую вершину k, что k-предок вершин v и u, и k имеет максимальную глубину из всех таких вершин.Алгоритм позволяет найти ответы для дерева из n вершин и m запросов поиска LCA за время О(n + m), т.е при достаточно большом m, за ОO(1) на запрос.== Алгоритм ==Запустим обход в глубину из корня в течении которого мы найдём все ответы на наши запросы.Ответ для вершин v,u находится, когда мы уже посетели вершины u, а в v обработали всех сыновей и собираемся выйти из неё.Зафиксируем момент, мы собираемся выйти из вершины v(обработали всех сыновей) и хотим узнать ответ для пары v,u.Тогда заметим что ответ - это либо вершина v, либо какой-то её предок.Значит нам нужно найти предок вершины v, который является предком вершины u с наибольшей глубиной. Заметим, что при фиксированном v каждый из предков вершины v порождает некоторый класс вершин u, для которых он является ответом(в этом классе содержатся все вершины которые находятся "слева" от этого предка).На рисунке разные цвета-разные классы,а белые вершины ещё не просмотренные в dfs.Классы этих вершин - не пересекаются,а значит мы их можем эффективно обрабаывать с помощью dsu.Будем поддерживать массив ancestor[vоффлайн] - представитель множества в котором содержится вершина v.Для каждого класса мы образуем множество, и представителя этого множества.Когда мы приходим в новую вершину v мы должны добавить её в новый класс(ancestor[v] = v),а когда просмотрим всё поддерево какого-то ребёнка, мы должны объеденить это поддерево с нашим классом(операция union), и не забыть установить представителя как вершину v(взависимости от реализации это может быть какая-то другая вершина).После того как мы обработали всех детей вершины v,мы можем ответить на все запросы вида (v,u) где u-уже посещённая вершина.Нетрудно заметить что ответ для lca(v,u) = ancestor(find(u)).Так же можно понять что для каждого запроса это условие(что одна вершина уже посещена, а другую мы обрабатываем) выполнится только один раз. == Псевдокод ==<code>Для всех</code> <tex>u \in V</tex>: <tex>d[u] \gets \infty</tex><tex>d[s] \gets 0\</tex><br><tex> U \gets \emptyset</tex><br><code>Пока</code> <tex>\exists v \notin U</tex>: <code>Пусть</code> <tex>v \notin U : d[v]</tex> <code> минимальный </code>: <code>Для всех</code> <tex>u \notin U</tex> <code>таких, что</code> <tex>vu \in E</tex>:: <code>если</code> <tex> d[u] > d[v] + w(vu)</tex> <code>то</code>::: <tex>d[u] \gets d[v] + w (vu)</tex>: <tex>U \gets v </tex>
