Изменения

==ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОВОРОТАОбщий случай==У нас есть гиперплоскость Объём в <tex>g</tex> и точки задающие её. В <tex>dn</tex> -мерном пространстве у нас будет <tex>d</tex> линейно независимых(ЛНЗ) точек <tex>a_1, a_2, \dots, a_d</tex>. Линейную независимость точек воспринимаем творческиопределяется аналогично трехмерному случаю. {{Определение |definition=Будем называть набор из <tex>d</tex> точек '''линейно независимымОбъем'''{{---}} это сопоставляемая фигуре численная характеристика, такая, если мы можем выбрать одну что:# У одинаковых фигур равные объемы (объем не меняется при движении фигуры как твердого целого);# Если одна фигура состоит из нихдвух, провести вектора от нее до всех остальных и получить <tex>d-1</tex> ЛНЗ векторто её объем равен сумме объемов её частей.

Возьмем ===Переход из одной системы координат в нашем пространстве еще одну выделенную точку <tex>p</tex>другую===Пускай мы посчитали объем в одной системе координат и теперь хотим перейти из нее в другую систему координат. Получившийся набор <tex>a_1, a_2, \dots, a_dПоскольку объем не инвариантен, p</tex> тоже будет ЛНЗон изменится.

{{Теорема |about=О замене переменных в <tex>n</tex>-кратном интеграле|statement= Пусть у нас есть какаяданы две <tex>n</tex>-то выделенная зарание система координат мерные области: <tex>(D)</tex> в пространстве <tex>x_1 x_2\dots x_n</tex>Cи <tex>(\Delta)</tex>в пространстве <tex> \xi_1\xi_2\dots\xi_n</tex>, ограниченные каждая одной непрерывной {{---}} гладкой или кусочно-гладкой {{---}} поверхностью. Эта система приходит обычно вместе Между ними с какой-то задачей, и обычно она декартова. И у нас тоже будет сейчас декартова.помощью формул

Мы знаем, что можно составить матрицу перехода, если умеем выразить координаты векторов в исходной базовой системе координат <tex>C</tex>.А в нашем случае мы это сделать \begin{cases} x_1 = x_1(\xi_1,\xi_2,\dots, конечно\xi_n); \\ x_2 = x_2(\xi_1, можем: поскольку вектор существует между любыми парами точек\xi_2, просто сопредставим нашим точкам вектора\dots, соединяющие начало координат <tex>O</tex> и очередную точку.\xi_n); \\ \dotfill \\Значит x_n = x_n(\xi_1,\xi_2, если нам известны координаты точек\dots, то нам известны координаты векторов в ситеме <tex>C\xi_n); \end{cases}</tex>.Запишем матрицу перехода и немножко преобразуем её:

устанавливается взаимно однозначное соответствие. Тогда, при обычных предположениях относительно производных и сохранения знака якобианом<tex>A J = \begin{pmatrixvmatrix} \overrightarrowdfrac{Oa_1\partial x_1} - {\partial \xi_1} & \overrightarrowdfrac{Op\partial x_2} {\partial \ xi_1} & \overrightarrowcdots & \dfrac{Oa_2\partial x_n} - {\overrightarrow{Oppartial \xi_1} \\ \dots dfrac{\partial x_1}{\ partial \overrightarrowxi_2} & \dfrac{Oa_d\partial x_2} - {\partial \overrightarrow{Opxi_2} & \cdots &\enddfrac{pmatrix\partial x_n}^ {\intercal =partial \xi_2} \begin{pmatrix} a_1 - p \\ a_2 - pvdots & \vdots & \ ddots & \dots vdots \\ a_d - p \enddfrac{pmatrix\partial x_1}^ {\intercal =partial \begin{pmatrixxi_n} a_1 & 1 \dfrac{\ a_2 & 1partial x_2}{\partial \ xi_n} & \dots cdots &\dfrac{\ a_d & 1 partial x_n}{\partial \ p & 1 xi_n}\end{pmatrixvmatrix}^ \intercal</tex>,

В дальнейшем нас будут интересовать детерминант этой матрицы и его знак: интеграл от непрерывной в <tex>(D)</tex> функции <tex>f(x_1, x_2, \dots, x_n)</tex> может быть преобразован по формуле<tex>det\displaystyle \idotsint\limits_{(AD) }f(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n = \idotsint\beginlimits_{vmatrix(\Delta)} a_1 & 1 f(x_1(\xi_1,\xi_2,\ a_2 & 1dots,\xi_n), \ dots, x_n(\xi_1,\xi_2,\dots ,\xi_n))|J|\mathrm d\ a_d & 1 xi_1\dots \ p & 1 mathrm d\end{vmatrix}xi_n </tex>.

Плоскость Подробное доказательство приведено в учебнике Фихтенгольца<texref>g</tex> определяется замыканием набора <tex>a_1Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, a_2том 3, \dots, a_d</tex> ЛНЗ точек, значит, если <tex>p</tex> принадлежит множеству, то <tex>p</tex> является линейной комбинацией этих точек2003 г. {{---}} 440 c. В этом случае мы с помощью преобразований можем получить нулевую стррочку в матрице <tex>A</texref>, значит, ее определитель будет ноль.

===Вычисление объема=== Объём тела в <tex>n</tex>-мерном пространстве вычисляется как определённый интеграл <tex>\begindisplaystyle \idotsint\limits_{\mathbb{vmatrixR}^n} a_1 & 1 \chi(x_1, \dots, x_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n </tex>, где <tex>\chi(x_1, \dots, x_n)</tex> – характеристическая функция геометрического образа тела. ==Вычисление объема простых фигур=====Параллелепипед===Пусть параллелепипед задаётся точкой <math>p</math>, и ЛНЗ векторами <math>\{\ a_2 & 1vec{a_i}\}_{i=0}^n</math>,<math>\ chi(x_1, \dots , x_n)</math> — его характеристическая функция.Для вычисления объёма сначала сместим начало системы координат в точку <math>p</math>,а затем заменим базис на <math>\{\vec{a_i}\}_{i=0}^n</math>.В новой системе координат параллелепипед будет областью <math>\left[0,1\right]^n</math>. <math> \displaystylex_i = \ a_d & sum_{j=1 }^n (a_j - p)_i \xi_j \ p_1 + text{,}\alpha\overrightarrow\frac{p_1p_2\partial x_i} & 1 {\partial \xi_j} = (a_j - p)_i \endtext{vmatrix,} \\J = \begin{vmatrix} (a_1 - p)_1 & (a_1 - p)_2 & \cdots & 1 (a_1 - p)_n \\ (a_2 - p)_1 & 1(a_2 - p)_2 & \cdots &(a_2 - p)_n \\ \dots vdots & \vdots & \ a_d ddots & 1 \vdots \ \alpha p_2 + (1 a_n - p)_1 & (a_n - p)_2 & \alphacdots &(a_n - p)p_1 & 1 _n\end{vmatrix} = \alpha \begin{vmatrix} a_1 & 1 - p \\ a_2 & 1- p \\ \dots vdots \\ a_d & 1 \\ p_2 & 1 a_n - p\end{vmatrix} += (1 - \alpha) \begin{vmatrix} a_1 & 1 \\ a_2 & 1\\ \dots vdots & \vdots \\ a_d a_n & 1 \\ p_1 p & 1 \end{vmatrix} </tex>\text{,}\\Матрицы одинакового знака\idotsint\limits_{\mathbb{R}^n}\chi(x_1, и стоящие перед ними коэффициенты положительны. Значит\dots, у нашей точки будет тот же знак определителяx_n)\mathrm dx_1\dots \mathrm dx_n= \idotsint\limits_{\left[0, что и у <tex>p_11\right]^n}\left|J\right|\mathrm d\xi_1 \dots \mathrm d\xi_n = \left|J\right|\text{.}</texmath> и <tex>p_2 == См. также==* [[Аффинное пространство]] ==Примечания== <references /tex>.}}== Источники информации ==