Формальные грамматики

Определения

Определение:

Формальная грамматика (англ. Formal grammar) — способ описания формального языка, представляющий собой четверку [math]\Gamma =\langle \Sigma, N, S \in N, P \subset ((\Sigma \cup N)^* N (\Sigma \cup N)^*) \times (\Sigma\cup N)^{*}\rangle[/math], где: [math]\Sigma[/math] — алфавит, элементы которого называют терминалами (англ. terminals); [math]N[/math] — множество, элементы которого называют нетерминалами (англ. nonterminals); [math]S[/math] — начальный символ грамматики (англ. start symbol); [math]P[/math] — набор правил вывода (англ. production rules или productions) [math]\alpha\rightarrow \beta[/math].

Определение:

[math]\beta[/math] выводится из [math]\alpha[/math] за один шаг [math](\alpha \Rightarrow \beta)[/math]: [math]\alpha=\alpha_1\alpha_2\alpha_3[/math] [math]\beta=\beta_1\beta_2\beta_3[/math] [math]\alpha_1=\beta_1[/math], [math]\alpha_3=\beta_3[/math], [math]\alpha_2\rightarrow\beta_2 \in P[/math].

Определение:

[math]\beta[/math] выводится из [math]\alpha[/math] за ноль или более шагов [math](\alpha \Rightarrow^* \beta)[/math]: [math]\exists \gamma_1, \gamma_2, \ldots,\gamma_n : \alpha \Rightarrow \gamma_1 \Rightarrow \gamma_2 \Rightarrow \ldots \Rightarrow \gamma_n \Rightarrow \beta[/math] ( Рефлексивно-транзитивное замыкание отношения [math]\Rightarrow[/math]).

Определение:

Языком грамматики (англ. Language of grammar) называется [math]L(\Gamma) = \{\omega \in \Sigma^{*} \mid S \Rightarrow^{*}\omega\}[/math].

Определение:

Сентенциальная форма (англ. Sentential form) — последовательность терминалов и нетерминалов, выводимых из начального символа.

Обозначения

• Нетерминалы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита (например: [math]A, B, C[/math]).
• Терминалы обозначаются строчными буквами из начала латинского алфавита (например: [math]a, b, c[/math]).
• Последовательности из терминалов (слова) обозначают строчными буквами из конца латинского или греческого алфавита (например: [math]\omega[/math]).
  
• Последовательности из терминалов и нетерминалов обозначаются строчными буквами из начала греческого алфавита (например: [math]\beta, \alpha[/math]).

Примеры грамматик

Правильные скобочные последовательности

[math]\Sigma = \{(, )\}[/math]
[math]\begin{array}{lcr} S \to (S) \\ S \to SS \\ S \to \varepsilon \end{array} [/math]

Вывод строки [math](()())[/math]:
[math]S\Rightarrow(\boldsymbol{S})\Rightarrow(\boldsymbol{S}S)\Rightarrow((S)\boldsymbol{S})\Rightarrow((\boldsymbol{S})(S))\Rightarrow(()(\boldsymbol{S}))\Rightarrow(()())[/math].

Вывод строки [math]((()())(()))[/math]:
[math]S\Rightarrow(\boldsymbol{S})\Rightarrow(\boldsymbol{S}S)\rightarrow((S)\boldsymbol{S})\rightarrow((\boldsymbol{S})(S))\rightarrow[/math][math]\rightarrow((\boldsymbol{S}S)((S)))\rightarrow (((\boldsymbol{S})S)((S))) \rightarrow ((()\boldsymbol{S})((S)))\rightarrow[/math]
[math]\rightarrow((()(\boldsymbol{S}))((S)))\rightarrow ((()())((\boldsymbol{S})))\rightarrow ((()())(()))[/math].

Арифметические выражения

[math]\Sigma = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, +, *, /, -, (, )\}[/math]

[math]\begin{array}{lcr} S \rightarrow S O S\\ S \rightarrow (S)\\ S \rightarrow 0\\ S \rightarrow DN\\ O \rightarrow + \mid - \mid * \mid /\\ D \rightarrow 1 \mid 2 \mid 3 \mid 4 \mid 5 \mid 6 \mid 7 \mid 8 \mid 9\\ N \rightarrow NN \mid \varepsilon\\ N \rightarrow 0 \mid 1 \mid 2 \mid 3 \mid 4 \mid 5 \mid 6 \mid 7 \mid 8 \mid 9. \end{array} [/math]

Вывод строки [math]2+2*2[/math]: [math]S \Rightarrow SO\boldsymbol{S} \Rightarrow \boldsymbol{S} OSOS \Rightarrow 2O \boldsymbol{S} OS \Rightarrow 2O2O \boldsymbol{S} \Rightarrow 2 \boldsymbol{O} 2O2 \Rightarrow 2+2\boldsymbol{O}2 \Rightarrow 2+2*2[/math].

Левосторонний вывод этой же строки: [math]S \Rightarrow \boldsymbol{S}OS \Rightarrow 2\boldsymbol{O}S \Rightarrow 2+\boldsymbol{S} \Rightarrow 2+\boldsymbol{S}OS \Rightarrow 2+2\boldsymbol{O}S \Rightarrow 2+2*\boldsymbol{S} \Rightarrow 2+2*2[/math].

Язык [math]0^n1^n2^n[/math]

Данный язык является контекстно-зависимым. КЗ-грамматика для языка приведена ниже, а через лемму о разрастании доказывается его неконтекстно-свободность.

[math]\Sigma = \{0, 1, 2\}[/math]

[math] S \rightarrow 012 \\ S \rightarrow 0TS2 \\ T0 \rightarrow 0T \\ T1 \rightarrow 11 [/math]

Вывод строки [math]000111222[/math] :

[math]S \Rightarrow 0T\boldsymbol{S} 2 \Rightarrow 0T0T\boldsymbol{S}22 \Rightarrow 0T\boldsymbol{0T}01222 \Rightarrow 0\boldsymbol{T0}0T1222 \Rightarrow 00\boldsymbol{T0}T1222 \Rightarrow 000T\boldsymbol{T1}222 \Rightarrow 000\boldsymbol{T1}1222 \Rightarrow 000111222[/math]

Данная грамматика описывает этот язык, так как мы можем вывести любую строку одним методом. [math]n-1[/math] раз выполняем правило вывода [math]S \rightarrow 0TS2 [/math]. Потом выполняем правило [math]S \rightarrow 012 [/math], [math]n-1[/math] раз выполняем [math]T0 \rightarrow 0T [/math]. После этого у нас получается строка [math]0^nT^{n-1}2^n[/math]. Выполняем [math]n-1[/math] раз последнее правило и в результате получаем искомую строку.

См. также

• Возможность порождения формальной грамматикой произвольного перечислимого языка
• Иерархия Хомского формальных грамматик
• Неукорачивающие и контекстно-зависимые грамматики, эквивалентность
• Правоконтекстные грамматики, эквивалентность автоматам

Источники информации

• Wikipedia — Formal grammar
• Wikipedia — Formal language
• Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. — Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — Москва, Издательский дом «Вильямс», 2002. — 528 с. : ISBN 5-8459-0261-4 (рус.)