Изменения

|id = thBolzanofactorization independence|author=Больцаноh|statement=Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность|proof= Применим способ половинного деления, основанный на принципе вложенных отрезков: если строить систему отрезков путем деления предыдущего отрезка пополам, то получится система вложенных отрезков, и так до бесконечности.. Пересечение всех отрезков {{---}} 1 точка (по свойству системы вложенных отрезков). Раз <tex> a_n </tex> ограничена, то Если <texmath> \forall n: a_n \in \Delta_0 = [c, d] </tex> Делим его пополам, тогда в одной из двух половин этого отрезка будет содержаться бесконечно много <tex> a_n </tex>. Назовем его <tex> \Delta_1, |\Delta_1| = \frac 12 |\Delta_0| P</texmath> Далее делим факторизуется над <texmath> \Delta_1 G</texmath> на 2 части и называем <texmath> \Delta_2 </tex> ту половинуdsep_G(X, в которой содержится бесконечно много <tex> a_n </tex>. Продолжаем этот процесс до бесконечности. <tex> \Delta_{n+1} \subset \Delta_n </tex> <tex> |\Delta_nY| \rightarrow 0 </tex> По принципу вложенных отрезков: <tex> \exists !d^*: d^* \in \bigcap\limits_{n=0}^{\infty} \Delta_n </tex> <tex> \Delta_n = [c_n, d_n], c_n, d_n \rightarrow d^* </tex> Построим следующую таблицу: <tex> (a_{00}, a_{01}, a_{02}, \dotsZ) \in \Delta_0 </texmath> <tex> (a_{10}, a_{11}, a_{12}, \dots) \in \Delta_1 </tex> то P удовлетворяет <texmath> (a_{20}, a_{21}, a_{22}, X\dotsbotY|Z) \in \Delta_2 </texmath> <tex> \dots </tex> Каждая последующая строчка составляется из предыдущей. Выбирая подпоследовательность так, чтобы номер следующего элемента был строго больше номера предыдущего выбранного элемента в предыдущей строчке. Получили подпоследовательность <tex> b_n </tex>: <tex> c_n \le b_n \le d_n \Rightarrow b_n \rightarrow d^* </tex> (принцип сжатой переменной) <tex> b_n </tex> — подпоследовательность <tex> a_n </tex> и она сходится.|proof= g