Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах

Определения

Максимальное паросочетание

Определение:

Максимальным паросочетанием [math]MM[/math] [math](maximum[/math] [math]matching)[/math] в графе [math]G[/math] называется паросочетание максимальной мощности.

Минимальное вершинное покрытие

Определение:

Вершинным покрытием [math]VC[/math] [math](vertex[/math] [math]covering)[/math] графа [math]G[/math] называется такое подмножество множества вершин графа [math]V[/math], что каждому ребру [math]G[/math] инцидентна
хотя бы одна вершина из [math]VC[/math].

Определение:

Минимальным вершинным покрытием [math]MVC[/math] [math](minimum[/math] [math]vertex[/math] [math]covering)[/math] графа [math]G[/math] называется вершинное покрытие минимальной мощности.

Связь MM и MVC в двудольном графе

Теорема о мощности MVC и MM

Теорема:

В произвольном двудольном графе мощность максимального паросочетания равна мощности минимального вершинного покрытия.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть в [math]G[/math] построено максимальное паросочетание. Ориентируем ребра паросочетания, чтобы они шли из правой доли в левую, ребра не из паросочетания – так, чтобы они шли из левой доли в правую. Запустим обход в глубину из всех не насыщенных паросочетанием вершин левой доли. Разобьем вершины каждой доли графа на два множества: те, которые были посещены в процессе обхода, и те, которые не были посещены в процессе обхода. Тогда [math]L = L^+ \cup L^-[/math], [math]R = R^+ \cup R^-[/math], где [math]L, R[/math] – правая и левая доли соответственно, [math]L^+, R^+[/math] – вершины правой и левой доли, посещенные обходом, [math]L^-, R^-[/math] – не посещенные обходом вершины. Тогда в [math]G[/math] могут быть следующие ребра: Доли [math]L^+, L^-, R^+, R^-[/math] и ребра между ними. Из вершин [math]L^+[/math] в вершины [math]R^+[/math] и из вершин [math]R^+[/math] в вершины [math]L^+[/math]. Из вершин [math]L^-[/math] в вершины [math]R^-[/math] и из вершин [math]R^-[/math] в вершины [math]L^-[/math]. Из вершин [math]L^-[/math] в вершины [math]R^+[/math]. Очевидно, что ребер из [math]L^+[/math] в [math]R^-[/math] и из из [math]R^+[/math] в [math]L^-[/math] быть не может. Ребер из из [math]R^-[/math] в [math]L^+[/math] быть не может, т.к. если такое ребро [math]uv[/math] существует, то оно – ребро паросочетания. Тогда вершина [math]v[/math] насыщена паросочетанием. Но т.к. [math]v \in L^+[/math], то в нее можно дойти из какой-то ненасыщенной вершины левой доли. Значит, существует ребро [math]wv, w \in R^+[/math]. Но тогда [math]v[/math] инцидентны два ребра из паросочетания. Противоречие. Заметим, что минимальным вершинным покрытием [math]G[/math] является либо [math]L[/math], либо [math]R[/math], либо [math]L^- \cup R^+[/math]. В [math]R^+[/math] не насыщенных паросочетанием вершин быть не может, т.к. иначе в [math]G[/math] существует дополняющая цепь, что противоречит максимальности построенного паросочетания. В [math]L^-[/math] свободных вершин быть не может, т.к. все они должны находиться в [math]L^+[/math]. Тогда т.к. ребер из паросочетания между [math]R^+[/math] и [math]L^-[/math] нет, то каждому ребру [math]MM[/math] инцидентна ровно одна вершина из [math]L^- \cup R^+[/math]. Тогда [math]|L^- \cup R^+| = |MM| \le \min(|L|, |R|)[/math]. Значит, минимальным вершинным покрытием является [math]L^- \cup R^+[/math] и [math]|MVC| = |MM|[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Алгоритм построения MVC

Из доказательства предыдущей теоремы следует алгоритм поиска минимального вершинного покрытия графа:

• Построить максимальное паросочетание.
• Ориентировать ребра:
  • Из паросочетания – из правой доли в левую.
  • Не из паросочетания – из левой доли в правую.
• Запустить обход в глубину из всех свободных вершин левой доли, построить множества [math]L^+,L^-,R^+,R^-,[/math].
• В качестве результата взять [math]L^- \cup R^+[/math].

Источники

1. Теорема Кёнига.