Лемма об эквивалентности свойства-потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети

Лемма:

Следующие утверждения эквивалентны: Поток [math] f [/math] — минимальной стоимости. В остаточной сети [math] G_f [/math] нет циклов отрицательного веса.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow [/math] От противного. Пусть существует [math] C [/math] — цикл отрицательного веса в [math] G_f [/math], [math] c_m [/math] — наименьшая остаточная пропускная способность среди рёбер [math] C [/math]. Пустим по [math] C [/math] поток [math] f_+ = c_m [/math]. Так как сумма весов по циклу отрицательна и поток по каждому ребру одинаков, то [math] \sum_{u,v \in V} p(u,v) \cdot f_+(u,v) \lt 0[/math] [math]\Rightarrow [/math] [math]\sum_{u,v \in V} p(u,v) \cdot (f + f_+)(u,v) \lt \sum_{u,v \in V} p(u,v) \cdot f[/math] [math]\Rightarrow f [/math] — не минимальный. Противоречие.

[math]\triangleleft[/math]