Level Ancestor problem

Задача о уровне предка (англ. "Level Ancestor problem") является задачей о превращении данного корневого дерева T в структуру данных, которая сможет определить предка любого узла на заданном расстоянии от корня дерева.

Задача:

Дано корневое дерево [math]T[/math] c [math]n[/math] вершинами. Поступают запросы вида [math]LA(v, k)[/math], для каждого из которых необходимо найти предка вершины [math]v[/math], который находится на расстоянии [math]k[/math] от корня дерева [math]T[/math].

Наивная реализация и двоичные подъемы

Используя обход в глубину посчитаем глубину каждой вершины дерева (это можно сделать за [math]O(n)[/math]), после чего можем из вершины [math]v[/math] подняться до необходимой глубины вершины [math]k[/math], что так же в худшем случае работает за [math]O(n)[/math]. Получили алгоритм за < [math]O(n), O(n)[/math] >, где время ответа на запрос можно улучшить до [math]O(\log n)[/math] c помощью предподсчета двоичных подъемов , но тогда и время предподсчета в наивной реализации (посчитать подъемы для всех вершин) ухудшится до < [math]O(n \log n), O(\log n)[/math] >. Альтернативой данным двум алгоритмам является полный предподсчет всех возможных запросов, что соответственно дает нам ассимптотику < [math]O(n^2), O(1)[/math] >.

В данном примере поступает запрос [math]LA(v, 2)[/math], на который алгоритм должен дать ответ h.

Использование Heavy-light декомпозиции

Этот алгоритм базируется на различных способах декомпозиции дерева (выберем heavy-light декомпозицию), из свойств этого разбиения следует, что подняться на любую высоту из вершины [math]v[/math] мы можем за [math]O(\log n)[/math]. Данное разбиение можно строить за [math]O(n)[/math], что дает нам алгоритм за < [math]O(n), O(\log n)[/math] >.

Алгоритм лестниц

Longest path decomposition

Разобьем все вершины на пути следующим образом. Обойдем дерево с помощью обхода в глубину, пусть мы стоим в вершине [math]v[/math], обойдем всех ее детей, добавив [math]v[/math] в путь, идущий в самое глубокое поддерево, т.е. в котором находится вершина с самой большой глубиной. Для каждой вершины сохраним номер пути в который она входит.

Ladder decomposition

Увеличим каждый путь в два раза вверх, для каждого нового пути сохраним все входящие в него вершины, а для каждой вершины сохраним ее номер в пути, в который она входит. Построение обычной longest-path декомпозиции займет у нас [math]O(n)[/math] времени (обход в глубину), соответственно удлиннение каждого пути ухудшит ассимптотику до [math]O(n \log n)[/math].

Двоичные подъемы

После этого посчитаем двоичные подъемы для каждой вершины за [math]O(\log n)[/math], что соответственно не ухудшит ассимптотику.

Пусть после этого нам пришел запрос [math]LA(v, k)[/math].

• Сделаем один максимально большой прыжок вверх с помощью насчитанных двоичных подъемов.

1. [math]i = \log k[/math]
2. [math]v = p_i[v][/math]

• Рассмотрим путь, на котором лежит вершина [math]v[/math] до удвоения. Он длины хотя бы [math]2^i[/math], так как мы точно знаем, что существует вершина потомок [math]v[/math], расстояние до которого ровно [math]2^i[/math] (это вершина, из которой мы только что пришли). Значит, после удвоения этот путь стал длины хотя бы [math]2^{i + 1}[/math], причем хотя бы [math]2^i[/math] вершин в нем - предки [math]v[/math]. Это означает, что вершина, которую мы ищем, находится на этом пути (иначе бы мы могли до этого прыгнуть еще на [math]2^i[/math] вверх). Так как мы знаем позицию [math]v[/math] в этом пути, то нужную вершину мы можем найти за [math]O(1)[/math].

Таким образом, наш алгоритм работает за < [math]O(n\log n), O(1)[/math] >. Методом четырех русских данный метод можно улучшить до < [math]O(n), O(1)[/math] > с помощью оптимизации предподсчета.

The Macro-Micro-Tree Algorithm

В данном разделе мы докажем, что предподсчет предыдущего алгоритма можно улучшить до [math]O(n)[/math]. Для начала рассмотрим алгоритм за < [math]O(L\log n + n), O(1)[/math] >, где [math]L[/math] это количество листьев.

• С помощью обхода в глубину запомним по одному листу в ее поддереве для каждой вершины
• Воспользуемся алгоритмом лестниц, но будем выполнять предподсчет только для листьев.

Рассмотрим как можно улучшить данный алгоритм:

• Зададим некую функцию [math]S(n) = \dfrac{1}{4} \log n[/math]
• Посчитаем размер поддерева для каждой вершины с помощью обхода в глубину, после чего удалим все вершины, размер поддерева которых меньше чем [math]S(n)[/math].
• Забудем на время про удаленные поддеревья, для оставшегося дерева наш алгоритм даст < [math]O(\dfrac{n}{S(n)} \log n + n), O(1)[/math] >. Что дает нам алгоритм за

< [math]O(n), O(1) [/math]>. Для удаленных поддеревьев же выполним полный предподсчет: таких деревьев не более чем [math]2^{2S(n)}[/math], что дает ассимптотику предподсчета [math]O(\sqrt{n} \log^2{n}) = o(n) = O(n)[/math].

В итоге полученный алгоритм действительно работает за <[math]O(n), O(1)[/math]>.