Изменения

|definition ='''Скобочная последовательность''' (анлг. ''Bracket Sequences'') {{---}} класс комбинаторных объектов, представляющих собой последовательность скобочных символов.}}'''Примеры скобочных последовательностей:'''*$<tex>(())))($</tex>*$<tex>)()()))()(()())$</tex>

|definition ='''Правильная скобочная последовательность''' (анлг. ''Correct Bracket Sequences'') {{---}} частный случай скобочной последовательности, определяющийся следующими образами:

*"" <tex>\varepsilon</tex> (пустая строка) есть правильная скобочная последовательность;*пусть $<tex>S$ </tex> {{---}} правильная скобочная последовательность, тогда $<tex>(S)$ </tex> есть правильная скобочная последовательность;*пусть $<tex>S1$</tex>, $<tex>S2$ </tex> {{---}} правильные скобочные последовательности, тогда $<tex>S1S2$ </tex> есть правильная скобочная последовательность;

'''Примеры правильных скобочный последовательностей:'''*$<tex>((()()()()))$</tex>*$<tex>(())(()())$</tex>

Пусть нам дана скобочная последовательность, записанная в строку $<tex>s$</tex>. Возьмем переменную $pointer$<tex>\mathtt{counter}</tex>, $pointer <tex>\mathtt{counter} = 0$</tex>, в которой мы будем поддерживать баланс. Будем последовательно перебирать все символы этой строки. Если мы встречаем открывающуюся скобку, то увеличиваем $pointer$ <tex>\mathtt{counter}</tex> на $<tex>1$</tex>, закрывающую {{---}} уменьшаем на $<tex>1$</tex>. Если на протяжении всего перебора $pointer$ <tex>\mathtt{counter}</tex> было неотрицательным (не встречалось закрывающих скобок, для которых не было соответствующих открывающих) и после завершения осталось нулем(все открывающие скобки закрыты, при этом нет лишних закрытых скобок), то скобочная последовательность правильна.

'''boolean''' check(s: '''string'''): pointer counter = 0 '''for (''' i = 1; i <= '''to''' length(s); i++): pointer = ('''if''' s[i] == '(')? pointer counter++ : pointer '''else''' counter-- '''if (pointer ''' counter < 0) '''return ''' ''false '' if (pointer '''return''' counter == 0) return true else return false

''===Примеры скобочных последовательностей с несколькими типами скобок:''===

*$<tex>()[()]\{()()[]\}$ </tex> {{---}} верно*$<tex>[(]\{\})$ </tex> {{---}} неверно

В этом случае для проверки надо будет использовать [[Стек | стек]].

== Лексикографический порядок порядок правильных скобочных последовательностей ==

Для того , чтобы определить лексикографический порядок для правильных скобочных последовательностей , надо установить порядок на алфавите, например так '$<tex>($' \ < '$\ )$'</tex>.Для последовательностей с разным типом скобок надо определять свой порядок в зависимости от числа скобок, причем любая открывающаяся скобка должна быть меньше закрывающейся, например "$<tex>($" \ < "$\ [$" \ < "$\ )$" \ < "$\ ]$"</tex>.

''===Примеры лексикографического порядка для $<tex>n$ </tex> и $<tex>k$</tex>, где $<tex>n$ </tex> {{---}} число открывающихся скобок, а $<tex>k$ </tex> {{---}} число видов скобок''===

{| borderclass="1wikitable" !colspan="2" cellpaddingstyle="padding:7px"| <tex>n = 3"</tex> |$n !colspan= "3$|" style="padding:7px"|$<tex>k = 1$</tex>

!style="padding:7px"|$<tex>((()))$</tex> !style="padding:7px"||$<tex>(()())$|</tex> !style="padding:7px"|$<tex>(())()$|</tex> !style="padding:7px"|$<tex>()(())$|</tex> !style="padding:7px"|$<tex>()()()$</tex>

{| borderclass="1wikitable" cellpadding="3" !colspan="2" style="padding:7px"|$<tex>n = 2$|</tex> !colspan="2" style="padding:7px"|$<tex>k = 2$</tex>

!style="padding:7px"|$<tex>()[]$</tex> !style="padding:7px"||$<tex>([])$</tex> !style="padding:7px"||$<tex>[()]$|</tex> !style="padding:7px"|$<tex>[]()$</tex>

Алгоритм == Алгоритмы генерации == ===Рекурсивный алгоритм получения лексикографического порядка ===Пусть нам известно число <tex>n</tex>. Надо вывести все правильные скобочные последовательности в лексикографическом порядке с <tex>n</tex> открывающимися скобками: Для запуска алгоритма необходимо сделать вызов <tex>\mathrm{gen}(n</tex>, <tex>0</tex>, <tex>0</tex>, <tex>"")</tex>.*<tex> \mathtt{ans}</tex> {{---}} строка, в которой мы считаем ответ*<tex> \mathtt{counter\_open}</tex> - количество открывающих скобок в данный момент*<tex> \mathtt{counter\_close}</tex> - количество закрывающих скобок в данный момент '''function''' gen(n: '''int''', counter_open: '''int''', counter_close: '''int''', ans: '''string'''): '''if''' counter_open + counter_close == 2 * n print(ans) '''return''' '''if''' counter_open < n gen(n, counter_open + 1, counter_close, ans + '(') '''if''' counter_open > counter_close gen(n, counter_open, counter_close + 1, ans + ')') Если есть возможность поставить открывающую скобку, то мы ставим её. Аналогично после этого если есть возможность поставить закрывающую скобку, то после этого мы ставим и её.<br>Таким образом строки будут выведены в лексографическом порядке, так как сначала мы мы пытаемся поставить открывающую скобку. При этом мы перебираем все возможные варианты последующих скобок для каждого возможного префикса <tex>\mathtt{ans}</tex>, а следовательно в результате получаем все возможножные правильные скобочные последовательности ===Генерация следующей скобочной последовательности=== Пусть нам известна строка <tex>s</tex>, представляющая собой правильную скобочную последовательность. Нам необходимо вывести следующую скобочную последовательность, а если ее нет, то вывести "No solution". Чтобы получить следующую скобочную последовательность надо найти последнюю открывающуюся скобку, которую можно заменить (на этом месте мы можем поставить закрывающую скобку, не нарушив условия правильности скобочной последовательности, то есть на протяжении проверки на правильность counter должен быть неотрицательным), заменить ее на закрывающуюся, а оставшиеся в конце скобки (если они есть) заменить на минимально возможную последовательность скобок:  '''string''' next(s: '''string'''): counter_close = 0 counter_open = 0 '''for''' i = length(s) '''downto''' 1 '''if''' s[i] == '(' counter_open++ '''if''' counter_close > counter_open '''break''' '''else''' counter_close++ <font color="Green">// начиная с символа с индексом "length(s) - counter_open - counter_close" удаляем все символы (индексация с 0)</font> remove(s[length(s) - counter_open - counter_close], s[length(s) - 1]) '''if''' s == "" '''return''' "No Solution" '''else''' s = s +')' '''for''' j = 1 '''to''' counter_open s = s + '(' '''for''' j = 1 '''to''' counter_close - 1 s = s + ')' '''return''' s ===Получение лексикографического порядка=== Пусть нам известно число <tex>n</tex>. Надо вывести все правильные скобочные последовательности в лексикографическом порядке с <tex>n</tex> открывающимися скобками:  '''function''' order(n: '''int'''): s = "" '''for''' j = 1 '''to''' n s = s + '(' '''for''' j = 1 '''to''' n s = s + ')' print(s) '''while''' next(s) != "No Solution" print(s = next(s)) '''return''' Также с помощью этого алгоритма можно получить скобочную последовательность по номеру и номер по скобочной последовательности, добавив сравнение с нужной последовательностью и счетчик. Но это далеко не самый оптимальный алгоритм для подобного типа задач и он не будет предложен ниженормально работать для больших <tex>n</tex>. ===Получение номера последовательности=== Пусть <tex>n</tex> — количество пар скобок в последовательности. Требуется по заданной правильной скобочной последовательности найти её номер в списке лексикографически упорядоченных правильных скобочных последовательностей. Научимся считать вспомогательную [[Динамическое программирование | динамику]] <tex>d[i][j]</tex>, где <tex>i</tex> — длина скобочной последовательности (она "полуправильная": всякой закрывающей скобке соответствует парная открывающая, но не все открытые скобки закрыты), <tex>j</tex> — баланс (т.е. разность между количеством открывающих и закрывающих скобок), <tex>d[i][j]</tex> — количество таких последовательностей. При подсчёте этой динамики мы считаем, что скобки бывают только одного типа. Считать эту динамику можно следующим образом. Пусть <tex>d[i][j]</tex> — величина, которую мы хотим посчитать. Если <tex>i = 0</tex>, то ответ понятен сразу: <tex>d[0][0] = 1</tex>, все остальные <tex>d[0][j] = 0</tex>. Пусть теперь <tex>i > 0</tex>, тогда переберём, чему мог быть равен последний символ этой последовательности. Если он был равен <tex>'('</tex>, то до этого символа мы находились в состоянии <tex>(i-1,j-1)</tex>. Если он был равен <tex>')'</tex>, то предыдущим было состояние <tex>(i-1,j+1)</tex>. Таким образом, получаем формулу: <tex>d[i][j] = d[i-1][j-1] + d[i-1][j+1]</tex> (считается, что все значения <tex>d[i][j]</tex> при отрицательном <tex>j</tex> равны нулю). Таким образом, эту динамику мы можем посчитать за <tex>O(n^2)</tex>. Перейдём теперь к решению самой задачи.Сначала пусть допустимы только скобки одного типа:  '''int''' get_number(s: '''string'''): num = 0 depth = 0 '''for''' i = 0 '''to''' 2 * n - 1 '''if''' s[i] == '(' depth++ '''else''' num += d[2 * n - i - 1][depth + 1] depth-- '''return''' num

Пусть теперь разрешены скобки <tex>k</tex> типов. Тогда при рассмотрении текущего символа <tex>s[i]</tex> до пересчёта <tex>\rm depth</tex> мы должны перебирать все скобки, которые меньше текущего символа в установленном ранее порядке, пробовать ставить эту скобку в текущую позицию (получая тем самым новый баланс <tex>\rm ndepth == Количество правильных скобочных последовательностей\rm depth \pm 1</tex>), и прибавлять к ответу количество соответствующих "хвостов" {{---}} завершений (которые имеют длину <tex>2n - i - 1</tex>, баланс <tex>\rm ndepth</tex> и <tex>k</tex> типов скобок). Числа Каталана ==Утверждается, что формула для этого количества имеет вид:

Количество правильных скобочных последовательностей со скобками одного типа совпадает с числами Каталана.<tex>d[2n - i - 1][ndepth] \cdot k^{{Определение(2n - i - 1 - ndepth) / 2}</tex>|id = def1|definition =Числа Каталана {{-Эта формула выводится из следующих соображений. Сначала мы "забываем" про то, что скобки бывают нескольких типов, и просто берём ответ из <tex>d[2n -i -1][{\rm ndepth}} последовательность чисел] </tex> (аналогично случаю с одним типом скобок, где мы увеличивали <tex>depth</tex> на <tex>1</tex>, если скобка открывающая, выражающих:*количество не изоморфных упорядоченных бинарных деревьев с корнем и $n уменьшали на <tex>1</tex>, если закрывающая, <tex>ndepth = depth + 1$ листьями;*количество способов соединения $</tex>, если мы пробуем поставить открывающую скобку, и <tex>ndepth = depth - 1</tex>, если закрывающую). Теперь посчитаем, как изменится ответ из-за наличия <tex>k</tex> типов скобок. У нас имеется <tex>2n - i - 1</tex> неопределённых позиций, из которых <tex>\rm ndepth</tex> являются скобками, закрывающими какие-то из открытых ранее, — значит, тип таких скобок мы варьировать не можем. А вот все остальные скобки (а их будет <tex>(2n$ точек - i - 1 - {\rm ndepth}) / 2</tex> пар) могут быть любого из <tex>k</tex> типов, поэтому ответ умножается на окружности $n$ не пересекающимися хордами;эту степень числа <tex>k</tex>. *количество разбиений выпуклого $Сложность данного алгоритма <tex>O(n ^2 + 2n \cdot k)$</tex>. ===Получение k-угольника на треугольники не пересекающимися диагоналями;}}Для чисел Каталана выполняется выражение:й последовательности===

$C_n =\frac{(2n)!}{Пусть <tex>n!(n + 1)!}$,</tex> — количество пар скобок в последовательности. В данной задаче по заданному <tex>k</tex> требуется найти <tex>k</tex>-ую правильную скобочную последовательность в списке лексикографически упорядоченных последовательностей.

$C_0 = 1$ {{---}} так как существует Пусть сначала допустимы только одна скобочная последовательность с $0$ открывающихся скобок {{---}} пустаяскобки одного типа:

$C_n '''string''' get_sequence(n: '''int''', k: '''int'''): depth = 0 s = \sum_{"" '''for''' i = 0 '''to''' 2 * n - 1}^{ '''if''' d[2 * n - (i + 1)][depth + 1} C_i C_{] <tex>\geqslant</tex> k s += '(' depth++ '''else''' k -= d[2 * n - (i + 1)][depth + 1 ] s += ')' depth-- i}$. '''return''' s

Чтобы получить это соотношениеПусть теперь разрешён не один, надо перебрать все возможные последовательности $S1$ и $S2$а <tex>k</tex> типов скобок. Тогда алгоритм решения будет отличаться от предыдущего случая только тем, являющиеся правильными скобочными последовательностямичто мы должны домножать значение <tex>d[i + 1][\rm ndepth]</tex> на величину <tex>k^{(2n - i - 1 - \rm ndepth) / 2}</tex>, такиечтобы учесть, что $в этом остатке могли быть скобки различных типов, а парных скобок в этом остатке будет только <tex>2n - i - 1 - \rm ndepth</tex>, поскольку <tex>\rm ndepth</tex> скобок являются закрывающими для открывающих скобок, находящихся вне этого остатка (S1а потому их типы мы варьировать не можем)S2$ образуют новые правильные скобочные последовательности необходимой нам длины.

Пусть нам известна строка $s$, представляющая собой правильную скобочную последовательность== См. Нам необходимо вывести следующую скобочную последовательность, а если ее нет, то {{---}} "No solution". Чтобы получить следующую скобочную последовательность надо найти последнюю открывающуюся скобку, которую можно заменить , заменить ее на закрывающуюся, а оставшиеся также ==*[[Числа Каталана]]*[[Комбинаторные объекты]]*[[Лексикографический порядок]]*[[Генерация комбинаторных объектов в конце скобки (если они есть) заменить на минимально возможную последовательность скобок:лексикографическом порядке]]*[[Получение номера по объекту]]*[[Получение объекта по номеру]]*[[Получение следующего объекта]]

next(s): pointer_close = 0 pointer_open = 0 for (i Источники = length(s); i > 0; i--) if (s[i] == '('): pointer_open++ if (pointer_close > pointer_open) break else pointer_close++ delete(s, length(s) - pointer_open - pointer_close + 1, pointer_close + l) if (s == ""): return false s = s +')' for (j = 1; j <= pointer_open; j++): s = s + '(' for (j = 1; j < pointer_close; j++): s = s + ')' return true

Если эта функция после выполнения выводит $true$* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Скобочные последовательности, тогда надо напечатать полученную строку $s$, если $false$, то следует вывести "No solution".Материал из Википедии — свободной энциклопедии]

''Получение лексикографического порядка* [http:''//ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Правильная скобочная последовательность, Материал из Википедии — свободной энциклопедии]

Пусть нам известно число $n$* [http://e-maxx. Надо вывести все правильные ru/algo/bracket_sequences MAXimal :: algo :: Правильные скобочные последовательности в лексикографическом порядке с $n$ открывающимися скобками:]

order (n) s = ""; if (n == 0)[[Категория: result(s) else for (j = 1; j <= n; i++) s = s + '('; for (j = 1; j <= n; i++) s = s + ')'; result(s); t = next(s); while (t <> false) result(s); t = next(s); returnДискретная математика и алгоритмы]]