Срез, согласованный срез

Мотивация: если у распределенной системы нет «глобального состояния», то как запомнить её состояние на диске, чтобы можно было продолжить работу после восстановления с диска?

Пусть $E$ — множество событий с полным порядком ($<$) в рамках каждого процесса.

Определение:

Срез $F$ — подмножество $E$ такое, что если $e < f \in F$, то $e \in F$.

Определение:

Согласованный срез $G$ — подмножество $E$ такое, что [math]\forall f \in E, \forall g \in G : f \rightarrow g \Rightarrow f \in G[/math].

Это означает, что не существует сообщения переданного "через срез" в обратную сторону, т.е не бывает такого, что событие отправки сообщения не вошло в согласованный срез, а принятия вошло (см. рисунок [math]m_1[/math] - несогласованный срез, [math]m_2[/math] - согласованный срез). Можем говорить о том, что согласованный срез показывает некий глобальный снимок нашей системы.

Эквивалентное определение: не существует $f \in G, e \in E \setminus G$ таких, что $e \to f$.

Пусть $G$ и $H$ — согласованные срезы. Будем говорить, что $G \le H$, если H достижимо из G (т.е. $G \subseteq H$ в смысле событий).

Теоремы

Нижняя граница для срезов

Заметим, что если есть два согласованных среза $G_1$ и $G_2$, то срез $G_1 \cap G_2$ тоже согласован и, более того, $(G_1 \cap G_2) \le G_1, G_2$. Доказательство: рассмотрим, какие сообщения могут пересылаться между различными частями системы:

откуда\куда	$G_1 \cap G_2$	$G_1 \cap \bar G_2$	$\bar G_1 \cap G_2$	$\bar G_1 \cap \bar G_2$
$G_1 \cap G_2$	+	+	+	+
$G_1 \cap \bar G_2$	-	+	-	+
$\bar G_1 \cap G_2$	-	-	+	+
$\bar G_1 \cap \bar G_2$	-	-	-	+

Заметим, что не существует сообщений, которые бы пересылались из $E \setminus (G_1 \cap G_2)$ в $G_1 \cap G_2$, что и требовалось.

Признак согласованности среза через векторные часы

Если у нас есть срез $G$, в котором векторные часы последних отправленных сообщений всех процессов попарно несравнимы, то этот срез согласован. Используется в алгоритме поиска слабого конъюнктивного предиката.

Доказательство от противного: пусть $G$ не согласован, тогда есть два события $f \in G$, $e \in E \setminus G$, причём $e \to f$. Тогда рассмотрим $e'$ — последнее событие $proc(e)$ в срезе $G$ (очевидно, $e' \le e$) и $f'$ — последнее событие $proc(f)$ в срезе $G$ (очевидно, что $f \le f'$). Тогда $e' \le e \to f \le f'$, т.е. $e' \to f'$, а тогда $VC(e') \le VC(f')$, противоречие.

Обратное, впрочем, неверно: можно рассмотреть ситуацию, в которой один поток отправил одно сообщение второму. Тогда у них векторные часы $(1, 0)$ и $(1, 1)$, они сравнимы, но срез согласованный.