442
правки
Изменения
→Источники информации
==Числа Рамсея==
|proof=
# Докажем с помощью метода математической индукции по <tex>n+m</tex>. <br>'''База:''' <tex>r(n,\;1) = r(1,\;n) = 1</tex>, так как граф, состоящий из одной вершины, можно считать полным графом любого цвета. <br>'''Индукционный переход:''' Пусть <tex>n>1</tex> и <tex>m>1</tex>. Рассмотрим клику на полный чёрно-белый граф из <tex>r(n-1, \;m - 1) + r(n ,\;m- 1, m)</tex> вершинах с рёбрами цветов 1 вершин. Возьмём произвольную вершину <tex>v</tex> и 2 обозначим через <tex>M</tex> и ее произвольную вершину <tex>aN</tex>. Тогда либо от вершины множества вершин, инцидентных <tex>av</tex> отходит хотя бы в чёрном и белом подграфе соответственно. Так как в графе <tex>r(n-1, \;m)+r(n,\;m - 1)=|M|+|N|+1 </tex> рёбер цвета 2 вершин, согласно принципу Дирихле, либо от вершины <tex>a|M|\geqslant r(n-1,\;m)</tex> отходит хотя бы , либо <tex>|N|\geqslant r(n—1n, \;m-1)</tex> рёбер цвета 1. Случаи аналогичны, рассмотрим первый случай и клику на Пусть <tex>|M|\geqslant r(n-1, \;m — 1)</tex> вершинах, соединенных с . Тогда либо в <tex>aM</tex> рёбрами цвета 2. На этих вершинах есть либо клика на существует белый <tex>nK_m</tex> вершинах с ребрами цвета 1, что доказывает теорему, либо клика на в <tex>M</tex> есть чёрный <tex>m—1K_{n-1}</tex> вершинах , который вместе с рёбрами цвета 2. Во втором случае добавим вершину <tex>av</tex> и получим клику на образует чёрный <tex>mK_n</tex> вершинах с рёбрами цвета 2, в этом случае теорема также доказана. Теперь из определения Случай <tex>|N|\geqslant r(n, \;m-1)</tex> следует [[#t1|неравенство]]рассматривается аналогично.2) Рассмотрим клику на # Предположим, <tex>p=r(n-1, \;m-l)+</tex> и <tex>q=r(n,\;m-1, m)</tex> оба чётны. Положим <tex>s=p+q-1</tex> вершинах с рёбрами цветов 1 и 2 и его произвольную вершину рассмотрим чёрно-белый граф из <tex>as</tex>вершин. Если вершине <tex>ad_i</tex> инцидентны хотя бы степень <tex>i</tex>r(n-й вершины в чёрном подграфе, то, согласно [[Лемма о рукопожатиях|лемме о рукопожатиях]],m-<tex> \sum\limits_{i=1)}^s d_i</tex> рёбер цвета 2 или хотя бы — чётно. Поскольку <tex>r(n-1s</tex> нечётно,m)должно существовать чётное <tex>d_i</tex> рёбер цвета 1. Не умаляя общности, положим, то мы найдём в графе клику на что <tex>d_1</tex> чётно. Обозначим через <tex>nM</tex> вершинах с рёбрами цвета 1 или клику на и <tex>mN</tex> вершинах с рёбрами цвета 2. Остаётся лишь случайвершины, когда инцидентные вершине <tex>a1</tex> инцидентны ровно в чёрном и белом подграфах соответственно. Тогда <tex>r(n, m|M|=d_1</tex> и <tex>|N|=s-1)-1d_1</tex> рёбер цвета 2, то же самое для всех остальных вершиноба чётны. Это означаетСогласно принципу Дирихле, что в графе из рёбер цвета 2 всего либо <tex>r(n, m-1)+r(n|M|\geqslant p-1</tex>, m)-1либо <tex>|N|\geqslant q</tex> вершин и степень каждой вершины равна . Так как <tex>|M|</tex>r(nчётно, m-1)а <tex>p-1</tex>. Однаконечётно, тогда в графе нечётное количество вершин нечётной степени. Противоречие показывает нампервое неравенство можно усилить, так что в случае, когда либо <tex>r(n, m-1)|M|\geqslant p</tex> и , либо <tex>r(n-1,m)|N|\geqslant q</tex> — чётные. <br> Далее проводим рассуждения, выполняется неравенство аналогичные тем, что присутствуют в первом пункте теоремы. Таким образом, <tex>r(n, m)<\leqslant r(n, m-1)+r(n-1, m)-1</tex>.
}}
{{Утверждение|id=ts1u1|about=Следствие 1|statement=Для натуральных чисел <tex>m,n</tex> выполняется равенство <tex>r(n,m) \le leqslant C_{n+m-2}^{n-1}</tex>
|proof=
Очевидно, <tex>C^{n-1}_{n+m-2}=1</tex> при <tex>n=1</tex> или <tex>m=1</tex>, как и соответствующие числа Рамсея. Индукцией по <tex>n</tex> и <tex>m</tex> при <tex>n,m \ge geqslant 2</tex> получаем <tex>r(n,m) \le leqslant r(n,m-1)+r(n-1,m) \le leqslant C^{n-1}_{n+m-3}+C^{n-2}_{n+m-3}=C^{n-1}_{n+m-2}</tex>
}}
===Экстремальные примеры и оценки Оценки снизу===Задача нахождения точных значений чисел Рамсея чрезвычайно трудна, этих значении известно немногим больше, чем перечислено выше.{{Определение|id=def2|definition=Графом Рамсея <tex>R(n,m)</tex> назовем такой граф на <tex>r(n,m)-1</tex> вершинах, не содержащий ни клики на <tex>n</tex> вершинах ни независимого множества на <tex>m</tex> вершинах(то есть, граф на ребрах цвета 1 из раскраски в два цвета ребер графа <tex>K_{r(m,n)-1}</tex>, не содержащей ни клики на <tex>n</tex> вершинах с рёбрами цвета 1 ни клики на <tex>m</tex> вершинах с рёбрами цвета 2).}}Граф <tex>R(3,3)</tex> — это цикл на пяти вершинах. Экстремальный граф <tex>R(3,4)</tex> — это цикл на 8 вершинах с проведёнными четырьмя главными диагоналями. Графы <tex>R(3,5)</tex> и <tex>R(4,4)</tex> имеют интересную числовую природу.
{{Теорема|id=ter2|about=2, Теорема Эрдеша|statement=Для любого натурального числа <tex>k \geqslant 2</tex> выполняется неравенство <tex>r(k,k) \geqslant 2^{k/2}</tex>|proof=Так, если ассоциировать 13 вершин графа как <tex>Rr(32,52)=2</tex> с элементами поля вычетов по модулю 13, то рёбра будут соединять вычеты разность которых — кубический вычет по модулю 13 достаточно рассмотреть случай <tex>k \geqslant 3</tex>.Пусть <tex>g(то естьn, 1k)</tex> доля среди помеченных графов на <tex>n</tex> вершинах тех, 5что содержат клику на <tex>k</tex> вершинах. Всего графов на наших вершинах, 8 очевидно <tex>2^{C^2_n}</tex> (каждое из возможных рёбер <tex>C^2_n</tex> можно провести или 12не провести).
Предположим, что <tex>gr(nk,k) \le \frac{C=n<2^k_n}{k/2^{C^2_k}}</tex> и разобьём все графы на <tex>n</tex> вершинах на пары <tex>\frac{langle G, \overline G \rangle</tex>. Так как <tex>g(n^,k)<\dfrac12</tex>, то существует пара <tex>\langle G, \overline G \rangle</tex>, в которой ни <tex>G</tex>, ни <tex>\overline G</tex> не содержат подграфа на <tex>k}{</tex> вершинах. Рассмотрим раскраску рёбер <tex>K_n</tex> в два цвета, в которой ребра цвета <tex>1</tex> образуют граф <tex>G</tex>. В такой раскраске нет клики на <tex>k!*</tex> вершинах ни цвета <tex>1</tex>, ни цвета <tex>2^{C^2_k}}</tex> Подставив , получили противоречие. Значит <tex>n</tex> было выбрано неверно. Из этого следует <tex>r(k,k) \geqslant 2^{k/2}</tex> в [[#t2|неравенстве]] мы получаем.}}
===Свойства чисел Рамсея===Следующими свойствами удобно пользоваться при подсчете значений чисел Рамсея <tex>gr(n,km)<\frac{2^{k^2/2}tex> на практике.*2^{-C^2_k}}{k!}<tex>r(n,m) =\frac{2^{kr(m,n)</2}}{k!}tex>* <\frac12tex>r(1,m) = 1</tex> при * <tex>k \ge 3r(2,m) = m</tex>
===Числа Рамсея для раскрасок в несколько цветов===
Теперь обобщим числа Рамсея на произвольное количество цветов.
{{Определение
|id=def2 def4
|definition=
}}
{{Теорема
|id=t3. ter3|about=3,Теорема Рамсея для нескольких цветов|statement=Пусть <tex>\forall k,n_1,...,\ldots n_k \ge 2in \mathbb N </tex> - натуральные числа. Тогда выполняются следующие утверждения:существует число Рамсея <tex>1) r(k;n_1,...\ldots,n_k) \le </tex>, при этом <tex>r(k;n_1-1,n_2,...\ldots,n_k)+\leqslant r(k;n_1,n_2\ldots, n_{k-1,...2},n_k)++r(n_{k;n_1,n_2,...,n_k-1)-k+2</tex><tex>2)r(k},\;n_1,...,n_k) \le \frac{(n_1+n_2+...+n_k)!}{n_1!*n_2!*...*n_k!}</tex>
|proof=
}}
==Числа Рамсея больших размерностей==
{{Определение
|id=def5. |definition=Пусть <tex>m,k,n_1,...,n_k \in \mathbb N</tex>, причём <tex>n_1,...,n_k \ge m</tex>. Число Рамсея <tex>r_m(k; n_1,...,n_k)</tex> — наименьшее из всех таких чисел <tex>x \in \mathbb N</tex>, что при любой раскраске <tex>m</tex>-элементных подмножеств <tex>x</tex>-элементного множества <tex>M</tex> в <tex>k</tex> цветов для некоторого <tex>i \in [1..k]</tex> обязательно найдётся такое множество <tex>W_i</tex>, что <tex>|W_i|=n_i</tex> и все <tex>m</tex>-элементные подмножества множества <tex>W_i</tex> имеют цвет <tex>i</tex>.}}{{Определение|id=def6
|definition=
Пусть <tex>m,k,n_1,\ldots ,n_k \in \mathbb N</tex>, причём <tex>n_1,\ldots ,n_k \geqslant m</tex>. '''Число Рамсея''' <tex>r_m(n_1,\ldots ,n_k)</tex> — наименьшее из всех таких чисел <tex>x \in \mathbb N</tex>, что при любой раскраске <tex>m</tex> называется -элементных подмножеств <tex>x</tex>-элементного множества <tex>M</tex> в <tex>k</tex> цветов для некоторого <tex>i \in [1\ldots k]</tex> обязательно найдётся такое множество <tex>W_i</tex>, что <tex>|W_i|=n_i</tex> и все <tex>m</tex>-элементные подмножества множества <tex>W_i</tex> имеют цвет <tex>i</tex>. Число <tex>m</tex> называют '''размерностью ''' числа Рамсея <tex>r_m(k;n_1,...\ldots ,n_k)</tex>.
}}
{{Теорема
|id=th5ter4|about=4, Теорема Рамсея для чисел больших размерностей|statement=Пусть <tex>m,k,n_1,...\ldots,n_k</tex> {{--- }} натуральные числа, причем <tex>k \ge geqslant 2</tex>, а <tex>n_1,...\ldots ,n_k \ge geqslant m</tex>. Тогда существует число Рамсея <tex>r_m(k;n_1,...\ldots n_k)</tex> существует(то есть, конечно).
|proof=
}}
Еще один способ обобщения классической теории Рамсея — замена клик на произвольные графы-шаблоны.
{{Определение
|id=def11def8|definition=Пусть <tex>H_1,H_2</tex> — графы. '''Число Рамсея''' <tex>r(H_1,H_2)</tex> — это наименьшее из всех таких чисел <tex>x \in \mathbb N</tex>, что при любой раскраске рёбер полного графа на <tex>x</tex> вершинах в два цвета обязательно найдется подграф, [[Основные определения теории графов#isomorphic_graphs|изоморфный]] <tex>H_1</tex> с рёбрами цвета <tex>1</tex> или подграф изоморфный <tex>H_2</tex> с рёбрами цвета <tex>2</tex>. }}Существует и другое определение чисел Рамсея для произвольных графов.{{Определение|id=def16
|definition=
Пусть <tex>H_1,h_2H_2</tex> — два данных графаграфы. '''Число Рамсея ''' <tex>r(H_1,H_2)</tex> — это наименьшее из всех таких чисел <tex>x \in \mathbb N</tex>, что при любой раскраске рёбер полного для любого графа <tex>G</tex> на <tex>x</tex> вершинах либо в два цвета обязательно <tex>G</tex> найдется подграф, изоморфный <tex>H_1</tex> с рёбрами цвета 1 или , либо в <tex>\overline G</tex> найдется подграф изоморфный <tex>H_2</tex> с рёбрами цвета 2.
}}
{{Лемма
|id=lemma1l1|about=1|statement=Пусть <tex>m>1</tex>, а граф <tex>H</tex> таков, что <tex>v(H) \ge geqslant (m-1)(n-1)+1</tex> и <tex>\alpha(H) \le leqslant m-1</tex>, где <tex>v(H)</tex> {{---}} количество вершин в графе <tex>H</tex>. Тогда граф <tex>H</tex> содержит в качестве подграфа любое [[Основные определения теории графов#defTree|дерево ]] на <tex>n</tex> вершинах.
|proof=
Зафиксируем <tex>m</tex> и проведем индукцию по <tex>n</tex>. '''База :''' для <tex>n=1</tex> очевиднаочевидно. Докажем индукционный '''Индукционный переход :''' Пусть верно для <tex>n-1 \rightarrow </tex>, докажем для <tex>n(n>1</tex>. Рассмотрим произвольное дерево <tex>T_n</tex> на <tex>n</tex> вершинах, пусть дерево <tex>T_{n-1}</tex> получено из <tex>T_n</tex> удалением висячей вершины. Пусть <tex>U</tex> — максимальное независимое множестве множество вершин графа <tex>H</tex> . Тогда <tex>|U|=\alpha(H) \le leqslant m-1</tex>, следовательно <tex>v(H-U) \ge geqslant (m-1)(n-2)+1</tex> и очевидно <tex>\alpha(H-U) \le leqslant m-1</tex>.По индукционному предположению, граф <tex>H-U</tex> содержит в качестве подграфа дерево <tex>T_{n-1}</tex>. Пусть <tex>a</tex> — вершина этого дерева, присоединив к ксторой которой висячую вершину , мы получим дерево <tex>T_n</tex>. Заметим, что множество <tex>U \cup</tex>{<tex>\{a\}</tex>} не является независимым ввиду максимальности <tex>U</tex>. Следовательно, вершина <tex>a</tex> смежна хотя бы с одной вершиной <tex>x \in U</tex>. Отметим, что <tex>x \not\in V(</tex> не принадлежит множеству вершин графа <tex>T_{n-1})</tex> и, присоединив вершину <tex>x</tex> к вершине <tex>a</tex> дерева <tex>T_{n-1}</tex>, получим дерево <tex>T_n</tex> в качестве подграфа графа <tex>H</tex>.
}}
{{Теорема
|id=th10 ter5 |author=V. Chvatal5, Теорема Хватала|statement=Пусть <tex>T_n</tex> — дерево на <tex>n</tex> вершинах. Тогда <tex>r(T_n,K_m)=(m-1)(n-1)+1</tex>, где <tex>T_n</tex> — дерево на <tex>n</tex> вершинах.
|proof=
}}
==Индуцированная теорема Рамсея==
{{Определение
|id=def12 def9|definition=Граф <tex>H</tex> называется '''индуцированным подграфом''' (англ. ''induced subgraph'') графа <tex>G</tex> если две вершины в <tex>H</tex> соединены ребром тогда и только тогда, когда они смежны в <tex>G</tex>. }} {{Определение|id=def10|definition=Пусть <tex>H</tex> — граф. Граф <tex>G</tex> называется рамсеееским будем называть '''рамсеевским графом ''' (англ. ''Ramsey’s graph'') для <tex>H</tex>, если при любой раскраске рёбер графа <tex>G</tex> в два цвета существует одноцветный по рёбрам индуцированный подграф графа <tex>G</tex> изоморфный <tex>H</tex>.}}При замене произвольного {{Определение|id=def11|definition='''Индуцированным числом Рамсея''' (англ. ''induced Ramsey’s number'') <tex>r_{ind}(H)</tex> для графа <tex>H</tex> будем называть минимальное число <tex>x \in \mathbb N</tex>, такое что существует рамсеевский граф на клику мы получаем частный случай классической теоремы Рамсея<tex>x</tex> вершинах для графа <tex>H</tex>. Для клики добавленное слово "индуцированный" ничего не меняет. Но значительно усложняет ситуацию для }}Заметим, что при замене произвольного графа <tex>H</tex>на клику мы получаем частный случай классической теоремы Рамсея.
{{Теорема
|id=th15. ter6 |about=6, Индуцированная теорема Рамсея|statement=Для любого графа <tex>H</tex> существует рамсеевский граф<tex>G</tex>.
}}
Доказательство <ref>[https://math.la.asu.edu/~andrzej/teach/mat598/lec8.pdf Induced Ramsey Theorem Proof]</ref> данной теоремы было приведено независимо различными математиками, однако благодаря ему получилось предоставить только очень грубые оценки значений индуцированных чисел Рамсея. В данный момент проблема нахождения сколько-нибудь точных границ индуцированных чисел Рамсея является нерешенной задачей математики. ==Особенности теории==Результаты, полученные в теории Рамсея, обладают двумя главными характеристиками. Во-первых, они не позволяют получить сами структуры: теоремы лишь доказывают, что они существуют, но алгоритма для их нахождения не предлагают. Единственным способ найти нужную конструкцию зачастую является перебор. Во-вторых, чтобы искомые структуры существовали, обычно требуется, чтобы объекты, их содержащие, состояли из очень большого числа элементов. Зависимость числа элементов объекта от размера конструкции обычно, как минимум, экспоненциальная. =Случай =См. также==*[[Раскраска графа]]*[[Раскраска двудольного графав два цвета]]*[[Теорема Турана об экстремальном графе]] ==Примечания==<references /> ==Источники информации =Случай произвольного графа=* [[wikipedia:Ramsey's theorem|Wikipedia — Ramsey's theorem]]* [[wikipedia:Ramsey theory|Wikipedia — Ramsey theory]]* [http://people.maths.ox.ac.uk/~gouldm/ramsey.pdf Ramsey Theory]*[https://vtechworks.lib.vt.edu/bitstream/handle/10919/32873/Dickson_JO_T_2011.pdf?sequence=1&isAllowed=y An Introduction to Ramsey Theory on Graphs]*[http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/DS1| Small Ramsey Numbers by Stanisław Radziszowski][[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория:Дискретная математика]][[Категория:Теория графов]][[Категория: Раскраски графов]]