Дискретная случайная величина

Определение:

Случайная величина (англ. random variable) — отображение из множества элементарных исходов в множество вещественных чисел. [math] \xi\colon\Omega \to \mathbb{R}[/math]

Дискретная случайная величина

Определение:

Дискретной случайной величиной (англ. discrete random variable) называется случайная величина, множество значений которой не более чем счётно, причём принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определённой вероятностью.

Примеры

Проще говоря, дискретные случайные величины — это величины, количество значений которых можно пересчитать. Например:

1. Число попаданий в мишень при [math]n[/math] выстрелах. Принимаемые значения [math]0 \ldots n[/math]
2. Количество выпавших орлов при [math]n[/math] бросков монетки. Принимаемые значения [math]0 \ldots n[/math]
3. Число очков, выпавших при бросании игральной кости. Случайная величина принимает одно из значений — [math]\{1,2,3,4,5,6\}[/math]

Существуют также непрерывные случайные величины. Например, координаты точки попадания при выстреле.

Функция распределения

Определение:

Функция распределения случайной величины (англ. cumulative distribution function (CDF)) — функция [math]F(x)[/math], определённая на [math]\mathbb{R}[/math] как [math]P(\xi \lt x)[/math], т.е. выражающая вероятность того, что [math]\xi[/math] примет значение, меньшее чем [math]x[/math]

Если случайная величина [math]\xi[/math] дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией [math]\mathbb{P}(\xi = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots[/math]

Функция распределения [math]F(x)[/math] этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как [math]F(x) = \sum\limits_{i:~x_i \leqslant x} p_i[/math].

Свойства функции распределения дискретной случайной величины:

• [math]F(x_1)\leqslant F(x_2)[/math] при [math]x_1 \leqslant x_2;[/math]

• [math]F(x)[/math] непрерывна во всех точках [math]x\in \mathbb{R}[/math], таких что [math]\forall i ~ x \ne x_i [/math], и имеет разрыв первого рода в точках, таких что [math]\forall i ~ x = x_i[/math].

• [math]\lim\limits_{x \to -\infty} F(x) = 0, \lim\limits_{x \to +\infty} F(x) = 1[/math].

Примеры

1. Найдем функцию распределения количества попаданий в мишень. Пусть у нас есть [math]n[/math] выстрелов, вероятность попадания равна [math]p[/math]. Необходимо найти [math]F(k)[/math]. Для [math]k \leqslant 0 ~ F(k) = 0[/math], так как нельзя попасть в мишень отрицательное число раз. Для [math]k \gt 0 ~ F(k) = \sum\limits_{i = 0}^{\min(n, \lceil k \rceil - 1) }\dbinom{n}{i}p^{i} (1-p)^{ n - i}[/math]
2. Аналогичное решение имеет функция распределения числа выпавших орлов при броске монеты, если шанс выпадения орла — [math]p[/math].
3. Найдем функцию распределения числа очков, выпавших при бросании игральной кости. Пусть у нас есть вероятности выпадения чисел [math]1 \ldots 6[/math] соответственно равны [math]p_{1} \ldots p_{6}[/math]. Для [math]k \leqslant 1 ~ F(k) = 0[/math], так как не может выпасть цифра меньше [math]1[/math]. Для [math]k \gt 1 ~ F(k) = \sum\limits_{i = 1}^{\min(6,\lceil k \rceil - 1) }p_{i}[/math]

В отличие от дискретной случайной величины, непрерывная случайная величина может принять любое действительное значение из некоторого промежутка ненулевой длины, что делает невозможным её представление в виде таблицы или перечисления состояний. Поэтому ее часто явно задают через функцию распределения, например [math] F(x) = \begin{cases} 0, & x \lt 0 \\ \dfrac{x^{2}}{9}, & 0 \leqslant x \leqslant 3\\ 1, & x \gt 3 \end{cases}[/math]

Функция плотности распределения вероятностей

Определение:

Функция плотности распределения вероятностей (англ. Probability density function) — функция [math]f(x)[/math], определённая на [math]\mathbb{R}[/math] как первая производная функции распределения. [math]f(x) = F'(x)[/math]

Свойства функции плотности вероятности:

• Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:

[math]\int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x)\, dx = 1[/math].

• Плотность вероятности определена почти всюду.

Иными словами, множество точек, для которых она не определена, имеет меру ноль.

Для примера выше [math] f(x)=F'(x) = \begin{cases} (0)', & x \lt 0 \\ \left(\dfrac{x^{2}}{9} \right)', & 0 \leqslant x \leqslant 3\\ (1)', & x \gt 3 \end{cases} = \begin{cases} 0, & x \lt 0 \\ \dfrac{2x}{9}, & 0 \leqslant x \leqslant 3\\ 0, & x \gt 3 \end{cases} [/math]

Для дискретной случайной величины не существует функции плотности распределения вероятностей, так как такая случайная величина не является абсолютно непрерывной функцией.

См. также

• Математическое ожидание случайной величины

Источники информации

• КГУ — Определение дискретной случайной величины
• Википедия — Дискретная случайная величина
• Википедия — Плотность вероятности