Изменения

== Определение задачи ==Задача о потоке минимальной стоимости состоит в нахождении самого дешёвого способа передачи определённого количества [[потока|Определение сети, потока]] через заданную [[сеть|Определение сети, потока]].==

|definition=Дано число <tex>f_0</tex> и транспортная Пусть дана сеть <tex>\,G(V,E)</tex> с источником . <tex>s S, T \in V</tex> {{---}} источник и стоком сток. Ребра <tex>t (u,v) \in VE</tex> имееют пропускную способность <tex> c(u, v), </tex> поток <tex> f(u,v) </tex>и цену за единицу потока <tex>a(u, где ребра v) </tex>. Тогда '''общая стоимость потока''' из <tex>S</tex> в <tex>T</tex>::<tex>p(u,v) = \sum\limits_{u,v \in EV, f(u,v)>0} a(u,v) \cdot f(u,v)</tex> имеют }}===Свойства сети===* Поток не может превысить пропускную способность . :<tex>f(u,v) \leqslant c(u,cv)</tex>* Поток из <tex>u</tex> в <tex>v</tex> должен быть противоположным потоку из <tex>v</tex> в <tex>u</tex>. :<tex>f(u,v)=-f(v, u)</tex> * Сохранение потока. Для каждой вершины, сумма входящего и цену исходящего потоков равно <tex>0</tex>.:<tex>\,psum\limits_{w \in V} f(u,vw)= 0</tex>.

Суть задачи — найти {{Задача|definition = Дана сеть <tex>G(V,E)</tex>. <tex>S, T \in V</tex> {{---}} источник и сток. Ребра <tex>(u,v) \in E</tex> имееют пропускную способность <tex> c(u, v), </tex> поток ''<tex> f''(''u'', ''v''):</tex> {{---}}и цену за единицу потока <tex> a(u, v) </tex>. Требуется найти максимальный поток, суммарная стоимость которого минимальна.}}

===Метод устранения отрицательных циклов в остаточной сети===Воспользуемся [[Лемма об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети|леммой об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети]]. Получим следующий алгоритм:====Алгоритм====*Найти любой поток величины '''Начало.'''* '''Шаг 1'''. Определим для каждого прямого ребра <tex>f_0(u,v)</tex>обратное ребро <tex>(v, после чего избавиться от всех циклов отрицательной стоимости в остаточном графеu)</tex>. Чтобы избавиться от циклаОпределим его характеристики: <tex>c(v,u)=0</tex>, <tex>f(v,u)=-f(u,v)</tex>, <tex>a(v,u)=-a(u, надо пустить по нему максимально возможный v)</tex>.* '''Шаг 2'''. Для каждого ребра зададим потокравный <tex>0</tex>.* '''Шаг 3'''. Циклы ищутся Найдем произвольный максимальный поток(любым алгоритмом нахождения максимального потока), построим для него остаточную сеть, где каждому ребру будет соответствовать величина <tex>a(u,v) \cdot (c(u,v) - f(u,v))</tex>.* '''Шаг 4'''. При помощи [[Алгоритм Форда-Беллмана|алгоритма Форда - Беллмана]]найдем отрицательный цикл в построенной сети. Если отрицательный цикл не нашелся {{---}} перейдем к '''шагу 6'''.* '''Шаг 5'''. Избавимся от отрицательного цикла, для этого пустим по нему максимально возможный поток. Величина потока равна минимальной остаточной пропускной способности в цикле. Перейдем к '''шагу 4'''.*[[Поиск_потока_минимальной_стоимости_методом_дополнения_вдоль_путей_минимальной_стоимости'''Шаг 6'''. Отрицательных циклов в остаточной сети нет, значит, максимальный поток минимальной стоимости найден.* '''Конец.''' ====Асимптотика====Алгоритм Форда-Беллмана работает за <tex>O(VE)</tex>, улучшение цикла за <tex>O(E)</tex>. Если обозначить максимальную стоимость потока как <tex>C</tex>, а максимальную пропускную способность как <tex>U</tex>, то алгоритм совершит <tex>O(ECU)</tex> итераций поиска цикла, если каждое улучшение цикла будет улучшать его на 1. В итоге имеем <tex>O(V E^2 C U + maxFlow)</tex>, где <tex>maxFlow</tex> - асимптотика поиска максимального потока. ===Метод дополнения потока вдоль путей минимальной стоимости==={{main|Поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости]].}} ===Использование потенциалов Джонсона===*[[Использование_потенциалов_Джонсона_при_поиске_потока_минимальной_стоимости{{main|Использование потенциалов Джонсона при поиске потока минимальной стоимости (модификация предыдущего алгоритма)]].}}

== Задача о назначениях См. также ==Популярная задача, которая легко сводится * [[Сведение задачи о назначениях к потоку задаче о потоке минимальной стоимости - |Сведение задачи о назначениях к задаче о потоке минимальной стоимости]]* [[Сведение_задачи_о_назначениях_к_задаче_о_потоке_минимальной_стоимостиВенгерский алгоритм решения задачи о назначениях|задача Венгерский алгоритм решения задачи о назначениях]].

== Ссылки Источники информации ==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Поток_минимальной_стоимости Википедия {{- --}} Поток минимальной стоимости]