403
правки
Изменения
м
маленькие поправки, phi→varphi
{{Определение
|definition=
<tex dpi=150>T_n(f, x) = T_n(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}}{k!} (x-x_0)^k</tex> {{---}} полином
Тейлора функции <tex>f(x)</tex>
}}
Иначе говоря, порядок малости величины слева больше <tex>n</tex>.
|proof=
<tex>r_0r_n(x) = f_0f(x) - T_0T_n(x)</tex>
Нужно доказать, что <tex dpi=150>\frac{r_0r_n(x)}{(x - x_0)^n} \xrightarrow[x \to x_0] {} 0</tex>
<tex>T_n^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0), \ k = \overline{0, n}</tex>
|statement=
Пусть <tex>f</tex> <tex>n + 1</tex> раз дифференцируема в окрестности точки <tex>x_0</tex>.
Тогда <tex dpi=150140>\forall x \in V(x_0)\ \exists c_x \in (x_0; x) \cup (x; x_0) \ : f(x) </tex> <tex dpi=140>= \sum\limits_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k + \frac{f^{(n + 1)}(x - x_0)(c_x)}{(n + 1)!} (x - x_0)^{n + 1}
</tex>
Заметим, что <tex>g(x_0)</tex> {{---}} остаток в формуле Тейлора.
Найдём <tex>g'</tex>: <tex dpi=150>g' = - \sum\limits_{k = 0}^n \left( \frac{-1}{k!} f^{(k + 1)}(t) (x - t)^k - k(x - t)^{k - 1} \frac1{k!} f^{(k)}(t) \right) = </tex>
<tex dpi=150>= -\sum\limits_{k = 0}^n f^{(k + 1)}(t)\frac1{k!} (x - t)^k + \sum\limits_{k = 0}^n f^{(k)}(t) \frac1{(k - 1)!} (x - t)^{(k - 1)} = </tex>
<tex dpi=150>= -\sum\limits_{k = 0}^n f^{(k + 1)}(t)\frac1{k!} (x - t)^k + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} f^{(k + 1)}(t) \frac1{k!} (x - t)^k = </tex>
<tex>g(x) = 0</tex>, <tex>g(x_0) = r_0(x)</tex>, <tex dpi=150>g'(t) = -f^{(n + 1)}(t) \frac1{n!}(x - t)^n</tex>
Обозначим за <tex>\phivarphi(t) = (x - t)^{n + 1}</tex>. Тогда <tex>\phivarphi'(t) = -(n + 1)(x - t)^n</tex>. При <tex>t = x_0</tex>, <tex>\phivarphi'(t) \ne 0</tex>.
Рассмотрим дробь
<tex dpi=150>\frac{g(x)- g(x_0)}{\phivarphi(x) - \phivarphi(x_0)} =</tex> (применим к этой дроби формулу Коши для приращений) <tex dpi=150>\frac{g'(c_x)}{\phivarphi'(c_x)} = </tex>
<tex dpi=150> \frac{f^{(n + 1)}(c_x) (x - c_x)^n}{(n + 1)! (x - c_x)^n} = \frac{f^{(n + 1)}(t)}{(n + 1)!}</tex>
Но, с другой стороны, <tex dpi=150>\frac{g(x) - g(x_0)}{\phivarphi(x) - \phivarphi(x_0)} = \frac{-r_n(x)}{-(x - x_0)^{n + 1}}</tex>
Тогда получим
<tex>f'(x_0) = 0</tex>. Пусть <tex>f^{(1)}(x_0) = f^{(2)}(x_0) = \ldots = f^{(p - 1)}(t) = 0, \ f^{(p)}(x_0) \ne 0</tex>.
<tex>p</tex> {{---}} первое такое число, что производная <tex>f</tex> такого порядка в этой точке не равна 0.
По формуле Тейлора с остатком по Пеано, <tex dpi=150>f(x) - f(x_0) = \frac{f^{(p)}(x_0)}{p!} + o((x - x_0)^p)</tex>
<tex dpi=150>f(x) - f(x_0) = \frac{f^{(p)}(x_0)}{p!}(x - x_0)^p(1 + o(1))</tex>. При <tex>x \approx x_0, \quad 1 + o(1) > \frac12</tex>.
<tex>\mathrmoperatorname{sign}(f(x)- f(x_0)) = \mathrmoperatorname{sign}(f^{(p)}(x_0)(x - x_0)^p)</tex>
Заметим, что <tex>\mathrmoperatorname{sign}(f^{(p)}) = \mathrm{const}</tex>, а <tex>\mathrmoperatorname{sign}((x - x_0)^p)</tex> {{---}} изменяется.
Тогда возможны два случая:
* <tex>p</tex> {{---}} чётное:
<tex>\mathrmoperatorname{sign}(x - x_0)^p = 1</tex>
Тогда <tex>\mathrmoperatorname{sign}(f(x) - f(x_0)) = \mathrmoperatorname{sign}(f^{(p)}(x_0))</tex>
Если <tex> f^{(p)}(x_0) </tex> больше <tex>0</tex>, то в <tex>x_0</tex> минимум, если меньше {{---}} то максимум.
* <tex>p</tex> {{---}} нечётное:
<tex>\mathrmoperatorname{sign}(x - x_0)^p = \pm 1</tex> в зависимости от того, с какой стороны <tex>x</tex> находится от <tex>x_0</tex> на числовой оси. Значит, экстремума в точке <tex>x_0</tex> нет.
== Разложение ряда элементарных функций по формуле Тейлора ==
Разложим ряд элементарных функций в точке <tex>0</tex> по формуле Тейлора:
=== y = e^x ===
