Изменения

{{Определение|id=knuth_counter|definition= '''Счетчик Кнута''' (англ. ''Сounter Knuth's Counter'') {{--- }} структура данных, представленная избыточной двоичной системой счисления, где в которой добавление единицы к любому разряду числу и вычитание единицы выполняется за <tex>O(1)</tex>.}}

''Избыточная двоичная система счисления'' - двоичная система счисления, где кроме 0 и 1 допустима 2 в записи числа.{{Определение|id=knuth_counter|definition= Алгоритм ==Имеется Неотрицательное целое число записанное <tex>N</tex> в '''избыточной двоичной системе счисления, необходимо добавить 1 к какому-либо разряду. Будем поддерживать следующий инвариант: в следующем старшем за любой двойкой разряде всегда стоит 0.* Начало.* '''Шаг 1а'''. Если 1 нужно добавить к 2, то записывается в текущем разряде установить виде последовательности разрядов <tex>(d_n d_{n-1} \dotsc d_2 d_1)</tex>, где <tex>n</tex> обозначает количество разрядов в следующем 1.* '''Шаг 1б'''. Если 1 нужно добавить к 1 и в следующем разряде 0числе, то в текущем разряде установить 2.* '''Шаг 1в'''. Если 1 нужно добавить к 1 и в следующем разряде <tex>d_i</tex> {{---}} <tex>i</tex>&ndash;й разряд числа <tex>(1\leqslant i \leqslant n)</tex>, то в текущем разряде установить причем <tex>d_i \in \{0, повторить алгоритм для следующего разряда.* '''Шаг 1г'''. Если 1 нужно добавить к 1 и в следующем разряде 2, то в следующем за двойкой разряде установить 1, в разряде с двойкой установить 1, в текущем установить 0.* '''Шаг 1д'''. Если 1 нужно добавить к 0 и в предыдущем разряде 2, в следующем 0, то в предыдущем разряде установить 0, в текущем 2.* '''Шаг 1е'''. Если 1 нужно добавить к 0 и в предыдущем разряде 2, в следующем 1, то в предыдущем разряде установить 0, повторить алгоритм для следующего разряда.* '''Шаг 1ж'''. Если 1 нужно добавить к 0 \}</tex> и в предыдущем разряде 2, в следующем 2, то в предыдущем разряде установить 0, повторить алгоритм для следующего разряда.* '''Шаг 1з'''. Если <tex>\sum\limits_{i=1 нужно добавить к 0 и в предыдущем разряде не }^n d_i \cdot 2, установить в текущем разряде ^{i-1.* Конец.} == Доказательство ==Покажем, что инвариант не нарушитсяN.Инвариант можно нарушить в 2 случаях, когда к единице прибавляют 1, и в следующем разряде стоит не 0, и когда к нулю прибавляется 1, а в предыдущем разряде стоит 2.</tex>В первом случае, если в следующем разряде 1, алгоритм будет устанавливать в текущий разряд 0 и запускаться от следующего разряда. Если в следующем разряде 2, то, согласно инварианту, следующий за 2 разряд 0, и установив в следующий за двойкой и разряд с двойкой едины инвариант не нарушится.Во втором случае, если в следующем разряде 0, то предыдущий установится в 0, текущий в 2 и так как в следующем 0 инвариант не нарушится. Если в следующем разряде не 0, то предыдущий установится в 0 и алгоритм запустится от следующего.}}

== Пример ==Рассмотрим пример для каждого вариантаЗаметим, добавление 1 происходит что в 3 разрядэтой системе представление числа неоднозначно, например представление <tex>212</tex> эквивалентно <tex>1100</tex>.

г) # Найти младший разряд <tex>d_i</tex> равный <tex>2</tex> и, если таковой имеется, заменить последовательность <tex>0012_(\dotsc d_{2i+1} d_i \Rightarrow 00011_dotsc)</tex> на <tex>(\dotsc (d_{2i+1}+1)0 \dotsc)</tex># Заменить <tex>d_1</tex> на <tex>d_1+1</tex>.

е) # Если <tex>0201_d_{2} \Rightarrow 0001_{2i+1}=1</tex>, то заменить первый элемент списка с <tex>i</tex> на <tex>i+1</tex>, иначе удалить его.# Если <tex>d_1=1</tex> повторение алгоритма для 4 разряда, по варианту б то добавить в начало списка <tex>0001_{2} \Rightarrow 0002_{2}1</tex>.

== Амортизационная оценка алгоритма ==Воспользуемся методом предоплаты, будем считать, что каждый раз когда мы начинаем выполнять алгоритм мы берем 2 монетки. Одна будет тратится на изменение текущего разряда и одна запасаться. Таким образом если в разряде стоит 1, то для него запасена 1 монетка, если стоит 2, то запасено 2 монетки. Проверим все варианты<tex>(\dotsc 22\dotsc) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 30\dotsc)</tex>.

а) Так как в текущем разряде было 2, то уже запасено 2 монеты, а так же согласно инварианту после 2 стоит 0, тогда возьмем одну В свою очередь такая ситуация получается из запасенных у двойки монет и потратим их на присвоение следующему разряду 1, вторую запасенную передадим этой единице. Одну из наших монет потратим на установку в текущий разряд 1, вторую запасем для это единицы.:

б<tex>(\dotsc 212\dotsc) Так как в текущем разряде было 1, то прибавим наши монеты к уже запасенной от единицы. Одну потратим, что бы установить 2, останется 2 монеты.\overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 220\dotsc)</tex>

Причем количество единиц между двойками может быть любое, в) Так как в текущем разряде было 1итоге это приведет к появлению тройки.Однако если между любой парой двоек всегда будет находиться хотя бы один<tex>0</tex>, то прибавив наши монеты к запасенной получим 3такой ситуации не возникнет. Одну потратимПокажем, что бы установить этот инвариантподдерживается после инкремента, рассмотрев возможные ситуации:: Число двоек не изменяется:: <tex>(\dotsc 2\dotsc 0\dotsc 12\dotsc 0) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 2\dotsc 0\dotsc 20\dotsc 1)</tex>.:: <tex>(\dotsc 02\dotsc 1) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 10\dotsc 2)</tex>.:: <tex>(\dotsc 2\dotsc 02\dotsc 1) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 2\dotsc 10\dotsc 2)</tex> (частный случай предыдущего).:: <tex>(\dotsc 12) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 21)</tex>.: Пропадает одна двойка:: <tex>(\dotsc 02\dotsc 0) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 10\dotsc 1)</tex>.:: <tex>(\dotsc 02) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 11)</tex>.: Появление новой двойки:: <tex>(\dotsc 1) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 2)</tex> (имеется в виду появление единственной двойки).:: <tex>(\dotsc 12\dotsc 1) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 20\dotsc 2)</tex>.:: <tex>(\dotsc 2\dotsc 0\dotsc 12\dotsc 1) \overset{Inc} {\longmapsto} (\dotsc 2\dotsc 0, оставшиеся \dotsc 20\dotsc 2 потратим на повторение алгоритма для следующего разряда)</tex> (частный случай предыдущего).

г) Так как в текущем разряде было 1, в следующем 2, то уже запасено 3 монеты и еще 2 наши, тогда 3 монеты потратимТаким образом мы видим, что бы следующему за 2 разряду установить 1, разряду с 2 установить 1, текущему установить <tex>0, останется 2 монеты, которые распределятся между двумя единицами</tex> всегда сохраняется.

е) Так В таблице можно увидеть как в текущем разряде было будет изменятья представление при применении данных правил десять раз к нулю (представления чисел от <tex>0, в предыдущем разряде 2, в следующем 1, то уже запасено 3 монеты, одну потратим на изменение предыдущего разряда, одну сохраним с единицей, наши две монеты потратим на повторение алгоритма на следующем разряде, останется одна лишняя монета.</tex> до <tex>9</tex>):

ж) Так как в текущем разряде было {| class="wikitable"|-! Шаг! Представление|-| 0, в предыдущем разряде | 0|-| 1 | 1|-| 2, в следующем | 2, то уже запасено |-| 3 | 11|-| 4 монеты, одну потратим на изменение предыдущего разряда, две сохраним с двойкой, наши две монеты потратим на повторение алгоритма на следующем разряде, останется одна лишняя монета.| 12|-| 5 | 21|-| 6 | 102|-| 7 | 111|-| 8 | 112|-| 9 | 121|}

з) Одну из монет потратим == Обобщение на изменение разряда, оставшуюся запасем системы с единицей.произвольным основанием ==

Получается 2 монет достаточно для прибавления {{Определение|id=b_ary_rr|definition=В общем случае подобное представление называется '''<tex>b</tex>-ричным избыточным представлением''' ('''ИП''', англ. ''b-ary redundant representation''), которое похоже на представление в счетчике Кнута, но основание системы может быть произвольным, то есть <tex>d_i \in \{0,1,\dotsc ,b\}</tex> и <tex>\sum\limits_{i=1 }^n d_i \cdot b^i = N</tex>, где <tex>b</tex> {{---}} основание. Оно позволяет прибавить единицу к любому разряду, тогда наш алгоритм работает в среднем то есть увеличить число на <tex>b^i</tex> за <tex>O(1)</tex>}}

{{Определение|id=regular_rr|definition= Смотри Назовем представление '''регулярным''' (англ. ''regular''), если между двумя разрядами равными <tex>b</tex> есть хотя бы один разряд отличный от <tex>b-1</tex>.}} {{Определение|id=fixup|definition= Операция '''исправления''' (англ. ''fix'') разряда <tex>d_i=b</tex> в регулярном ИП увеличивает <tex>d_{i+1}</tex> на <tex>1</tex> и устанавливает <tex>d_i</tex> в <tex>0</tex>, образуя новое регулярное ИП, представляющее то же число, что и <tex>d</tex>.}} Чтобы добавить <tex>1</tex> к разряду <tex>d_i</tex> регулярного ИП <tex>d</tex>,нужно выполнить следующие действия:# Если <tex>d_i=b</tex>, исправить <tex>d_i</tex>.# Если <tex>d_i=b-1</tex> и самый младший значащий разряд <tex>d_j</tex>, такой, что <tex>j>i</tex> и <tex>d_j \ne b-1</tex>, равен <tex>b</tex> (т.е. <tex>d_j=b</tex>), применить операцию исправления к разряду <tex>d_j</tex>.# Добавить <tex>1</tex> к <tex>d_i</tex>.# Если <tex>d_i=b</tex>, исправить <tex>d_i</tex>. Для реализации данной схемы мы используем односвязный список разрядов от младшихк старшим. В дополнение каждый разряд <tex>d_i</tex> равный <tex>b-1</tex>будет иметь указатель на самый младший разряд <tex>d_j</tex>, такой,что <tex>j>i</tex> и <tex>d_j \ne b-1</tex>, если он равен <tex>b</tex>,иначе этот указатель будет на произвольный разряд <tex>d_j</tex> (<tex>j>i</tex>).Теперь во время увеличения разряда <tex>d_i</tex> на <tex>1</tex> будем проверятьразряд по указателю вперед (п. 2). Такое представление позволяет увеличивать произвольный разряд на единицу за константноевремя. Обновление указателя вперед происходит следующим образом: когда <tex>d_{i+}</tex> становится равен <tex>b-1</tex> при исправлении разряда <tex>d_{i-1}</tex>, устанавливаем указатель вперед разряда <tex>d_{i}</tex> на <tex>d_{i+1}</tex>, если <tex>d_{i+1}=b</tex>, либо копируем указатель вперед из <tex>d_{i+1}</tex> в <tex>d_{i}</tex>, если <tex>d_{i+1}=b-1</tex>.При собственно добавлении единицы к разряду <tex>d_i</tex>, также необходимо обновлять его указатель вперед аналогичным образом,если этот разряд становится равен <tex>b-1</tex>. == См. также ==

* [[Представление целых чисел: прямой код, код со сдвигом, дополнительный код|Представление целых чисел]] == Источники информации ==* H. Kaplan и R. E. Tarjan. New heap data structures. 1998* M. J. Clancy и D. E. Knuth. A programming and problem-solving seminar. Technical Report STAN-CS-77-606, Department of Computer Sciencr, Stanford University, Palo Alto, 1977.* G. S. Brodal. Worst case priority queues. ''Proc. 7th annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA 96)'', страницы 52-58. ACM Press, 1996.* H. Kaplan и R. E. Tarjan. Purely functional representations of catenable sorted lists. ''Proceedings of the 28th Annual ACM Symposium of Computing'', страницы 202-211. ACM Press, 1996* [http://www.cphstl.dk/Paper/Numeral-systems/mfcs-13.pdf In-Place Binary Counter]