Изменения

{{в разработке}}  '''Метод опорных векторов''' (англ. ''support vector machine'', ''SVM'') — один из наиболее популярных методов обучения, который применяется для решения задач классификации и регрессии. Основная идея метода заключается в построении гиперплоскости, разделяющей объекты выборки наиболее оптимальным способом. Алгоритм работает в предположении, что чем больше расстояние (зазор) между разделяющей гиперплоскостью и объектами разделяемых классов, тем меньше будет средняя ошибка классификатора.

На практике линейно разделимые выборки практически не встречаются: в данных возможны выбросы и нечёткие границы между классами. В таком случае поставленная выше задача не имеет решений, и необходимо ослабить ограничения, позволив некоторым объектам попадать на "территорию" другого класса. Для каждого объекта отнимем от отступа некоторую положительную величину $\xi_i$, но потребуем чтобы эти введённые поправки были минимальны. Это приведёт к следующей постановке задачи, называемой также ''SVM с мягким отступом'' (англ. ''soft-margin SVM''):

\frac{1}{2} \lVert \vec{w} \rVert^2 \color{redbrown}{+ C \sum\limits_{i=1}^\ell \xi_i} \to \min\limits_{w, b, \color{redbrown}{\xi}} \\M_i(\vec{w}, b) \geq 1 \color{redbrown}{- \xi_i}, \quad i = 1, \ldots, \ell \\\color{redbrown}{\xi_i \geq 0, \quad i = 1, \ldots, \ell} \\

По теореме Каруша—Куна—Таккера, поставленная нами задача минимизации эквивалентна двойственной задаче для поиска седловой точки функции Лагранжа:

# $\lambda_i = 0 \; \Rightarrow \; \eta_i = C; \; \xi_i = 0; \; M_i \geq 1 \;$ — периферийные (неинформативные) объекты — <br> Эти объекты лежат в своём классе, классифицируются верно и не влияют на выбор разделяющей гиперплоскости (см. ограничение на уравнение для $\vec{w}$)# $0 < \lambda_i < C \; \Rightarrow \; 0 < \eta_i < C; \; \xi_i = 0; \; M_i = 1 \;$ — опорные граничные объекты — <br> Эти объекты лежат ровно на границе разделяющей полосына стороне своего класса# $\lambda_i = C \; \Rightarrow \; \eta_i = 0; \; \xi_i > 0; \; M_i < 1 \;$ — опорные объекты-нарушители — <br> Эти объекты лежат внутри разделяющей полосы либо или на стороне другого чужого класса

Это также задача квадратичного программирования. Решение задачи лежит в пересечении $\ell$-мерного куба с ребром $C$ и гиперплоскости $\langle \lambda, y \rangle = 0$, что является выпуклым многогранником размерности $\ell-1$. И в В этом многограннике нужно найти минимум выпуклого квадратичного функционала. Следовательно, данная задача имеет единственное решение.

Существуют различные методы поиска решения: можно воспользоваться универсальным солвером задачи квадратичного программирования ([https://www.ibm.com/analytics/cplex-optimizer CPLEX], [http://www.gurobi.com/ Gurobi]), либо алгоритмом, специально заточенным под поставленную задачу учитывающим специфические особенности SVM ([https://www.microsoft.com/en-us/research/publication/sequential-minimal-optimization-a-fast-algorithm-for-training-support-vector-machines/ SMO], [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.10.9956 INCAS]).

b = \langle \vec{w}, \vec{x}_i \rangle - y_i, \quad \text{для любого}\; forall i: \lambda_i > 0, M_i = 1

И для удобства перепишем Теперь можем переписать наш линейный классификатор, выразив $\vec{w}$ через $\vec{\lambda}$:

Переход Существует ещё один подход к спрямляющему пространству более высокой решению проблемы линейной разделимости, известный как трюк с ядром (kernel trick). Если выборка объектов с признаковым описанием из $X = \mathbb{R}^n$ не является линейно разделимой, мы можем предположить, что существует некоторое пространство $H$, вероятно, большей размерности: , при переходе в которое выборка станет линейно разделимой. Пространство $H$ здесь называют спрямляющим, а функцию перехода $\psi : X \to H$— спрямляющим отображением. Построение SVM в таком случае происходит так же, как и раньше, но в качестве векторов признаковых описаний используются векторы $\psi(\vec{x})$, а не $\vec{x}$. Соответственно, скалярное произведение $\langle \vec{x}_1, \vec{x}_2 \rangle$ в пространстве $X$ везде заменяется скалярным произведением $\langle \psi(\vec{x}_1), \psi(\vec{x}_2) \rangle$ в пространстве $H$. Отсюда следует, что пространство $H$ должно быть гильбертовым, так как в нём должно быть определено скалярное произведение.

{{Определение|definition='''Ядро''' (англОбратим внимание на то, что постановка задачи и алгоритм классификации не используют в явном виде признаковое описание и оперируют только скалярными произведениями признаков объектов. ''kernel'') — функция Это даёт возможность заменить скалярное произведение в пространстве $K: X \times X \to \mathbb{R}$на [[Ядра|ядро]] — функцию, которая является являющуюся скалярным произведением в некотором гильбертовом пространстве: $K(\vec{x}_1, \vec{x}_2) = \langle \psi(\vec{x}_1)H$. При этом можно вообще не строить спрямляющее пространство в явном виде, \psi(\vec{x}_2) \rangle$ при некотором и вместо подбора $\psi : X \to H$, где $H$ — гильбертово пространствоподбирать непосредственно ядро.}}

{{Теорема|id=kernel|author=|statement=Функция $K(\vec{x}_1, \vec{x}_2)$ является ядром тогда и только тогда, когда выполнены условияПостановка задачи с применением ядер приобретает вид: <br><br>$\begin{cases}K(\vec{x}_1, \vec{x}_2) = K(\vec{x}_2, \vec{x}_1) & \text{(симметричность)} \\[1ex] \forall g: X \to \mathbb{R} \quad \int\limits_X \int\limits_X K(\vec{x}_1, \vec{x}_2) g(\vec{x}_1) g(\vec{x}_2) d \vec{x}_1 d \vec{x}_2 \geq 0 & \text{(неотрицательная определенность)}\end{cases}$}}

Точный алгоритм выбора ядер не описан, однако существуют исследования в области генетических алгоритмов<ref>[https://www.researchgate.net/publication/221080223_An_Evolutionary_Approach_to_Automatic_Kernel_Construction T.Howley, M.G.Madden — An Evolutionary Approach to Automatic Kernel Construction]</ref>. Конструктивные методы синтеза ядер: # $K(\vecbegin{xcases}_1, -\vecmathscr{xL}_2(\lambda) = -\langle sum\veclimits_{xi=1}_1, ^\vec{x}_2 ell \rangle \quad$ (скалярное произведение)# $K(\vec{x}_1, lambda_i + \vecfrac{x1}_2) = \alpha \quad$ (константа $\alpha \in \mathbb{R2}_+$)# $K(\vec{x}_1, sum\veclimits_{x}_2) i= K_1(\vec{x1}_1, ^\vec{x}_2) + K_2(ell \vec{x}_1, sum\veclimits_{xj=1}_2) ^\quad$ (сумма ядер)# $K(\vec{x}_1, \vec{x}_2) = K_1(ell \vec{x}_1, lambda_i \vec{x}_2) * K_2(lambda_j y_i y_j \veccolor{xbrown}_1, \vec{x}_2) \quad$ (произведение ядер)# $K(\vec{x}_1_i, \vec{x}_2_j) = \psi(\vec{x}_1) * \psi(to \vec{x}_2) min\quad$ (произведение функций $limits_\psi : X lambda \to \mathbb{R}$)# $K(0 \vec{x}_1, \vec{x}_2) = K_1(leq \phi(lambda_i \vec{x}_1)leq C, \phi(\vec{x}_2)) \quad$ (ядро от функций $\phi : X \to X$)# $K(\vec{x}_1, \vec{x}_2) i = \int\limits_X s(\vec{x}_11, \vec{z}) s(\vec{x}_2ldots, \vec{z}) d ell \vec{z} \quad$ ($s : X \times X \to \mathbb{R}$ — симметричная интегрируемая функция)# $K(\vec{x}_1, sum\veclimits_{x}_2) i= f(K_1(\vec{x}_1, \vec{x1}_2)) \quad$ ($f: ^\mathbb{R} ell \to lambda_i y_i = 0\mathbbend{Rcases}$ представима в виде сходящегося степенного ряда с неотрицательными коэффициентами) Примеры ядер:

* $Ka(\vec{x}_1, \vec{x}_2) = sign \left(\langle sum\veclimits_{xi=1}_1, \vec{x}_2 \rangle + c)^d, \quad c, d ell \in lambda_i y_i \mathbbcolor{Rbrown}$ — полиномиальное ядро* $K(\vec{x}_1, \vec{x}_2) = \sigma(\langle \vec{x}_1, \vec{x}_2 \rangle)$ — нейросеть с заданной функцией активации $\sigma(z)$ (не при всех $\sigma$ является ядром)* $K(\vec{x}_1_i, \vec{x}_2) = \exp(-\beta \lVert \vec{x}_1 - b\vec{x}_2 \rVert^2right)$ — сеть радиальных базисных функций (англ. ''RBF'') == Метод опорных векторов в задаче регрессии ==// TODO

* Задача выпуклого квадратичного программирования хорошо изучена и имеет единственное решение.* Метод опорных векторов эквивалентен двухслойной нейронной сети, где число нейронов на скрытом слое определяется автоматически как число опорных векторов.* Принцип оптимальной разделяющей гиперплоскости приводит к максимизации ширины разделяющей полосы, а следовательно, к более уверенной классификации.

* Неустойчивость к шуму: выбросы в исходных данных становятся опорными объектами-нарушителями и напрямую влияют на построение разделяющей гиперплоскости.* Нет общих подходов к оптимизации ядра под задачуНе описаны общие методы построения ядер и спрямляющих пространств, наиболее подходящих для конкретной задачи.* Нет отбора признаков.* Необходимо подбирать константу $C$при помощи кросс-валидации.

* [[http://jmlr.csail.mit.edu/papers/v1/tipping01a.html Метод релевантных векторов (Relevance Vector Machine, RVM)]]* [[https://papers.nips.cc/paper/2450-1-norm-support-vector-machines.pdf 1-norm SVM (LASSO SVM)]]* [[http://www3.stat.sinica.edu.tw/statistica/oldpdf/A16n214.pdf Doubly Regularized SVM (ElasticNet SVM)]]* [[https://arxiv.org/abs/1901.09643v1 Support Features Machine (SFM)]]* [[http://www.robots.ox.ac.uk/~minhhoai/papers/SVMFeatureWeight_PR.pdf Relevance Features Machine (RFM)] ==Примеры кода=====Пример на языке Java===Пример классификации с применением <code>smile.classification.SVM</code><ref>[https://haifengl.github.io/smile/api/java/smile/classification/SVM.html/ Smile, SVM]</ref> <code>Maven</code> зависимость: <dependency> <groupId>com.github.haifengl</groupId> <artifactId>smile-core</artifactId> <version>1.5.2</version> </dependency>  '''import''' smile.classification.SVM; '''import''' smile.data.NominalAttribute; '''import''' smile.data.parser.DelimitedTextParser; '''import''' smile.math.kernel.GaussianKernel; '''import''' java.util.Arrays;  <font color="green">// read train & test dataset</font> '''var''' parser = new DelimitedTextParser(); parser.setResponseIndex(new NominalAttribute("class"), 0); '''var''' train = parser.parse("USPS Train", this.getClass().getResourceAsStream("/smile/data/usps/zip.train")); '''var''' test = parser.parse("USPS Test", this.getClass().getResourceAsStream("/smile/data/usps/zip.test")); '''var''' classes = Arrays.stream(test.labels()).max().orElse(0) + 1; <font color="green">// build SVM classifier</font> '''var''' svm = new SVM<>(new GaussianKernel(8.0), 5.0, classes, SVM.Multiclass.ONE_VS_ONE); svm.learn(train.x(), train.labels()); svm.finish(); <font color="green">// calculate test error rate</font> '''var''' error = 0; for (int i = 0; i < test.x().length; i++) { if (svm.predict(test.x()[i]) != test.labels()[i]) { error++; } } System.out.format("USPS error rate = %.2f%%\n", 100.0 * error / test.x().length);

* [http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%88%D0%B8%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2 machinelearning.ru {{---}} — Машина опорных векторов]* [https://www.youtube.com/watch?v=Adi67_94_gc&list=PLJOzdkh8T5kp99tGTEFjH_b9zqEQiiBtC&index=5 Лекция "Линейные методы классификации: метод опорных векторов"] {{---}} — К.В. Воронцов, курс "Машинное обучение" 2014* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2 Wikipedia {{---}} — Метод опорных векторов]* Alexey Nefedov {{---}} — [https://svmtutorial.online/ Support Vector Machines: A Simple Tutorial]* John Platt {{---}} — [https://www.microsoft.com/en-us/research/publication/sequential-minimal-optimization-a-fast-algorithm-for-training-support-vector-machines/ Sequential Minimal Optimization: A Fast Algorithm for Training Support Vector Machines]* Shai Fine, Katya Scheinberg — [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.10.9956 INCAS: An Incremental Active Set Method for SVM]