Регуляризация

Определение:

Регуляризация (англ. regularization) в статистике, машинном обучении, теории обратных задач — метод добавления некоторых дополнительных ограничений к условию с целью решить неккоректно поставленную задачу или предотвратить переобучение. Чаще всего эта информация имеет вид штрафа за сложность модели.

Мотивация

Как говорилось ранее, регуляризация полезна для борьбы с переобучением. Если вы выбрали сложную модель, и при этом у вас недостаточно данных, то легко можно получить итоговую модель, которая хорошо описывает обучающую выборку, но не обобщается на тестовую.

На примере линейной регрессии

В качестве наглядного примера можно рассмотреть линейные регрессионные модели. Восстановить зависимость для нескольких точек можно пытаться полиномами разной степени M.

Рис. 1. Норма. M = 2

Рис. 2. Переобучение. M = 4

Как можно видеть на Рис 1. представлена зависимость, которая хорошо подходит для описания данных, а на Рис. 2 — модель слишком сильно заточилась под обучающую выборку.

Одним из способов бороться с этим эффектом — использовать регуляризацию, т. е. добавлять некоторый штраф за большие значения коэффициентов у линейной модели. Тем самым мы запретим слишком "резкие" изгибы и ограничим возможность подстраивания модели под данные.

На примере логистической регрессии

Необходимость регуляризации можно увидеть и на другом примере. Представьте, что ваша обучающая выборка была линейно разделима. В таком случае в процессе оптимизации значения весов уйдут в бесконечность и вместо сигмойды получится "ступенька", как представлено на Рис. 3.

Рис 3. Сигмойда — "ступенька"

Это плохо, ибо мы переобучились на нашу обучающую выборку. Как и в предыдущем примере, побороться с этим можно путем добавлением регуляризации, не дающей весам принимать слишком большие значения.

Основные виды регуляризации

Переобучение в большинстве случаев проявляется в том, что итоговые модели имеют слишком большие значения параметров. Соответственно, необходимо добавить в целевую функцию штраф за это. Наиболее часто используемые виды регуляризации — $L_{1}$ и $L_{2}$, а также их линейная комбинация — эластичная сеть.

В представленных ниже формулах для эмпирического риска $Q$: $\mathcal{L}$ является функцией потерь, а $\beta$ — вектором параметров элемента $g(x, \beta)$ модели алгоритмов.

$L_{2}$-регуляризация

Определение:

$L_{2}$-регуляризация, или регуляризация Тихонова (англ. ridge regularization или Tikhonov regularization): $Q(\beta, X^l)=\sum _{i}^l\mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta))+\lambda \sum _{j}^n{\beta_{j}}^{2}$.

Минимизация регуляризованного cоответствующим образом эмпирического риска приводит в данном случае к выбору такого вектора параметров $\beta$, которое не слишком сильно отклоняется от нуля. В линейных классификаторах это позволяет избежать проблем мультиколлинеарности и переобучения.

$L_{1}$-регуляризация

Определение:

$L_{1}$-регуляризация(англ. lasso regularization), или регуляризация через манхэттенское расстояние: $Q(\beta, X^l)=\sum _{i}^l\mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta))+\lambda \sum _{j}^n{|\beta_{j}|}$.

Данный вид регуляризации также позволяет ограничить значения вектора $\beta$. Однако, он также обладает интересным и полезным на практике свойством — обнуляет значения некоторых параметров, что в случае с линейными моделями приводит к отбору признаков.

Запишем задачу настройки вектора параметров $\beta$:

$Q(\beta) = \sum_{i=1}^l\mathcal{L}_{i}(\beta) + \lambda \sum _{j=1}^n{|\beta_{j}|}$,

где $\mathcal{L}_{i}(\beta) = \mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta))$ — некоторая ограниченная гладкая функция потерь. Сделаем замену переменных, чтобы функционал стал гладким. Каждой переменной $\beta_{j}$ поставим в соответствие две новые неотрицательные переменные:

$u_{j}=\frac{1}{2}(|\beta_{j}| + \beta_{j})$

$v_{j}=\frac{1}{2}(|\beta_{j}| - \beta_{j})$

Тогда:

$\beta_{j} = u_{j} + v_{j}$

$|\beta_{j}| = u_{j} + v_{j}$

В новых переменных функционал становится гладким, но добавляется ограничения-неравенства:

$Q(u, v) = \sum_{i=1}^l\mathcal{L}_{i}(u - v) + \lambda \sum_{j=1}^n(u_{j} + v_{j}) \rightarrow min_{u,v}$

$u_{j} \geq 0, v_{j} \geq 0$

Для любого $j$ хотя бы одно из ограничений $u_{j} \geq 􏰧0$ и $v_{j} 􏰧\geq 0$ обращается в равенство, иначе второе слагаемое в $Q(u, v)$ можно было бы уменьшить, не изменив первое. Если гиперпараметр $\lambda$ устремить к $\infty$, в какой-то момент $2n$ ограничений обратятся в равенство. Постепенное увеличение гиперпараметра $\lambda$ приводит к увеличению числа таких $j$, для которых $u_{j} = v_{j} = 0$, откуда следует, что $w_{j} = 0$. Как говорилось ранее, в линейных моделях это означает, что значения $j$-го признака игнорируются, и его можно исключить из модели.

Эластичная сеть

Определение:

Эластичная сеть (англ. elastic net regularization): $Q(\beta, X^l)=\sum _{i}^l\mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta))+\lambda_{1} \sum _{j}^n{|\beta_{j}|}+\lambda_{2} \sum _{j}{\beta_{j}}^{2}$.

Приведенная регуляризация использует как $L_{1}$, так и $L_{2}$ регуляризации, учитывая эффективность обоих методов. Ее полезной особенностью является то, что она создает условия для группового эффекта при высокой корреляции переменных, а не обнуляет некоторые из них, как в случае с $L_{1}$-регуляризацией.

Вероятностная интерпретация регуляризации

Эквивалентная вероятностная задача

Перед нами стоит задача — минимизировать эмпирический риск:

$Q(\beta, X^l)=\sum _{i}^l\mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta)) \rightarrow min_{\beta}$

Вероятностная модель данных дает возможность по-другому взглянуть на задачу. Пусть $X \times Y$ — является вероятностным пространством. Тогда вместо $g(x_{i}, \beta)$ задана совместная плотность распределение объектов и классов $p(x, y|\beta)$.

Для настройки вектора параметров \beta воспользуемся принципом максимума правдоподобия:

$p(X^l|\beta)=\prod_{i}^lp(x_{i},y_{i}|\beta) \rightarrow max_{\beta}$

Удобнее рассматривать логарифм правдоподобия:

$L(\beta, X^l)=\ln p(X^l|\beta)=\sum_{i}^l \ln p(x_{i}, y_{i}|\beta) \rightarrow max_{\beta}$

Можно заключить, что задачи в исходном и вероятностном представлении эквивалентны, если положить:

$-\ln p(x_{i}, y_{i}|\beta)=\mathcal{L}(y_{i}, g(x_{i}, \beta))$

Принцип максимума совместного правдоподобия данных и модели

Допустим, что наряду с параметрической моделью плотности распределения $p(x, y|\beta)$ имеется еще и априорное распределение в пространстве параметров модели $p(\beta)$. Чтобы ослабить априорные ограничения, вместо фиксированной функции $p(w)$ вводится параметрическое семейство априорных распределений $p(\beta; \gamma)$, где $\gamma$ — гиперпараметр.

Принцип максимума правдоподобия теперь будет записываться по-другому, так как не только появление выборки $X^l$, но и появление модели $\beta$ также является случайным. Их совместное появление описывается, согласно формуле условной вероятности, плотностью распределения:

$p(X^l, \beta; \gamma)=p(X^l|\beta)p(\beta;\gamma)$

Таким образом, приходим к принципу максимума совместного правдоподобия данных и модели:

$L_{\gamma}(\beta, X^l)=\ln p(X^l, \beta;\gamma)=\sum_{i}^l \ln p(x_{i}, y_{i}|\beta) + \ln p(\beta; \gamma) \rightarrow max_{\beta}$

Функционал $L_{\gamma}$ распадается на два слагаемых: логарифм правдоподобия и регуляризатор, не зависящий от данных. Второе слагаемое ограничивает вектор параметров модели, не позволяя ему быть каким угодно.

В итоге мы получили, что с байесовской точки зрения многие методы регуляризации соответствуют добавлению некоторых априорных распределений на параметры модели. При этом можно определить распределения, которые соответствуют представленным ранее $L_{1}$ и $L_{2}$ регуляризаторам.

Нормальный регуляризатор

Пусть вектор $\beta$ имеет нормальное распределение, все его компоненты независимы и имеют равные дисперсии:

$\beta \sim N(0, \sigma^2)$

Логарифмируя, получаем квадратичный регуляризатор:

$\ln p(\beta; \sigma) = \ln (\frac{1}{(2 \pi \sigma)^{n/2}} \exp(- \frac{\| \beta \| ^ 2}{2 \sigma})) = - \frac{1}{2 \sigma}\| \beta \| ^ 2 + const(\beta),$

где $const(\beta)$ — слагаемое, не зависящее от $\beta$, которым можно пренебречь, поскольку оно не влияет на решение оптимизационной задачи. В итоге имеем $L_{2}$ — регуляризатор.

Лапласовский регуляризатор

Пусть вектор $\beta$ имеет распределение Лапласа, все его компоненты независимы и имеют равные дисперсии:

$\beta \sim Laplace(0, C)$

Тогда:

$\ln p(\beta; C) = \ln (\frac{1}{(2C)^n} \exp(- \frac{\| \beta \|_{1}}{C})) = - \frac{1}{C}\| \beta \|_{1} + const(\beta), \| \beta \|_{1} = \sum_{j}|\beta_{j}|$

Распределение Лапласа имеет более острый пик и более тяжёлые «хвосты», по сравнению с нормальным распределением. Его дисперсия равна $2C^2$.

Аналогично случаю с нормальным регуляризатором, $const(\beta)$ можно опустить и, таким образом, получаем $L_{1}$ — регуляризатор.

Регуляризация в линейной регрессии

В линейной регрессии моделируется линейная зависимость между зависимой и независимой переменной. Таким образом, модель алгоритмов для нее состоит из функций вида:

$g(x, \beta) = \sum_{j}^n \beta_{j} f_{j}(x)$

В итоге оптимизируемый функционал эмпирического риска выглядит следующим образом:

$Q(a) = \|F\beta - y\|^2$,

где $F = (f_{x_{i}})_{l \times n}$ — матрица объекты-признаки, $y = (y_{i})_{l \times 1}$ — целевой вектор, $\beta = (\beta_{j})_{n \times 1}$ — вектор параметров. Приравняв нулю производную $Q(\beta)$ по параметру $\beta$, получаем:

$\beta^* = (F^TF)^{-1}F^Ty$

В итоге, использовав сингулярное разложение для представления $F$ и проведя МНК-аппроксимизацию целевого вектора $y$, имеем выражение для нормы вектора \beta:

$\|\beta^*\|^2 = \sum_{j=1}^n \frac{1}{\lambda_{j}}(v_{j}^Ty)^2$

К сожалению, могут возникнуть проблемы мультиколлинеарности и переобучения в случае, если ковариационная матрица $\sum = F^T F$ плохо обусловлена. Одним из способов борьбы с этими проблемами является регуляризация.

В статье о видах регрессии представлены модификации линейной регресиии с различными регуляризаторами ($L_{1}$ и $L_{2}$) и их отличие. Описание в данном разделе будет похожим, однако здесь будет рассмотрен эффект от добавления регуляризаторов немного детальнее.

Гребневая регрессия

К функционалу $Q$ добавляется $L_{2}$-регуляризатор.

Итоговый минимизируемый функционал с поправкой:

$Q_{\lambda}(\beta) = ||F \beta - y||^2 + \lambda ||\beta||^2$

Итоговое выражение для параметра \beta:

$\beta_{\tau}^* = (F^TF + \tau I_{n})^{-1}F^Ty$

Таким образом, перед обращением матрицы к ней добавляется "гребень" — диагональная матрица $\tau I_{n}$. При этом все её собственные значения увеличиваются на $\tau$, а собственные векторы не изменяются. В результате матрица становится хорошо обусловленной, оставаясь в то же время «похожей» на исходную.

Рассмотрим, какой эффект оказывает добавление гребня. Выразим регуляризованное МНК-решение через сингулярное разложение:

$\beta_{t}^* = (UD^2U^T + \tau I_{n})^{-1}UDV^{T}y=U(D^2+\tau I_{n})^{-1}DV^Ty=\sum_{j=1}^n \frac{\sqrt{\lambda_{j}}}{\lambda_{j} + \tau}u_{j}(v_{j}^Ty)$

Теперь найдём регуляризованную МНК-аппроксимацию целевого вектора y:

$F \beta_{\tau}^* = VDU^T \beta_{\tau}^* = V diag(\frac{\lambda_{j}}{\lambda_{j} + \tau})V^Ty = \sum_{j=1}^n \frac{\lambda_{j}}{\lambda_{j} + \tau}v_{j}(v_{j}^Ty)$

Как можно видеть, проекции на собственные векторы сокращаются, умножаясь $\frac{\lambda_{j}}{\lambda_{j} + \tau} \in (0, 1)$.

В сравнении с нерегуляризованным случаем, уменьшается и норма вектора $\beta$:

$\|\beta_{\tau}^*\|^2 = \| D^2(D^2 + \tau I_{n})^{-1}D^{-1}V^{T}y)\|^2 = \sum_{j=1}^n \frac{1}{\lambda_{j} + \tau}(v_{j}^Ty)^2 < \sum_{j=1}^n \frac{1}{\lambda_{j}}(v_{j}^Ty)^2 = \|\beta^*\|^2$

Поэтому данный метод называют также сжатие или сокращение весов.

Из формул видно, что по мере увеличения параметра $\tau$ вектор коэффициентов $\beta_{\tau}^*$ становится всё более устойчивым и жёстко определённым. Фактически, происходит понижение эффективной размерности решения — это второй смысл термина сжатие. Роль размерности играет след проекционной матрицы.

В нерегуляризованном случае:

$n_{effective} = tr\:F(F^TF)^{-1}F^T = tr(F^TF)^{-1}F^TF = tr\:I_{n} = n$

В случае с гребнем:

$n_{effective} = tr\:F(F^TF + \tau I_{n})^{-1}F^T = tr\:diag(\frac{\lambda_{j}}{\lambda_{j} + \tau}) = \sum_{j=1}^n \frac{1}{\lambda_{j}} < n$

Лассо регрессия

К функционалу $Q$ добавляется $L_{1}$-регуляризатор.

Итоговый минимизируемый функционал с поправкой:

$Q_{\tau}(\beta) = ||F \beta - y||^2 + \tau ||\beta||$

Запишем систему для этой регрессии в виде минимизации неизменного функционала $Q$ при неравенстве-ограничении:

$\begin{cases} Q(\beta) = \| F\beta - y \|^2 \rightarrow min_{\beta} \\ \sum_{j=1}^n|\beta_{j}| \leq \chi \\ \end{cases}$

Так как используется $L_{1}$-регуляризатор, коэффициенты $\beta_{j}$ постепенно обнуляются с уменьшением $\chi$. Происходит отбор признаков, поэтому параметр $\chi$ называют еще селективностью. Параметр $\chi$ "зажимает" вектор коэффициентов $\beta$, отсюда и название метода — лассо (англ. LASSO, least absolute shrinkage and selection operator).

Сравнение гребниевой и лассо регрессий

Основное различие гребниевой и лассо регрессий заключается в том, что первая может приводить к обращению некоторых независимых переменных в ноль (используется $L_{1}$-регуляризатор), тогда как вторая уменьшает их до значений, близких к нулю (используется $L_{2}$-регуляризатор).

Продублируем наглядный пример из статьи о вариациях регрессии. Рассмотрим для простоты двумерное пространство независимых переменных. В случае лассо регрессии органичение на коэффициенты представляет собой ромб ($|\beta_1| + |\beta_2| \leq t$), в случае гребневой регрессии — круг ($\beta_1^2 + \beta_2^2 \leq t^2$). Необходимо минимизировать функцию ошибки, но при этом соблюсти ограничения на коэффициенты. С геометрической точки зрения задача состоит в том, чтобы найти точку касания линии, отражающей функцию ошибки с фигурой, отражающей ограничения на $\beta$. Из Рис. 3 интуитивно понятно, что в случае лассо регрессии эта точка с большой вероятностью будет находиться на углах ромба, то есть лежать на оси, тогда как в случае гребневой регрессии такое происходит очень редко. Если точка пересечения лежит на оси, один из коэффициентов будет равен нулю, а значит, значение соответствующей независимой переменной не будет учитываться.

Рис.3. Сравнение гребневой и лассо регрессий, пример для двумерного пространства независимых переменных. Бирюзовые области изображают ограничения на коэффициенты $\beta$, эллипсы — некоторые значения функции наименьшей квадратичной ошибки.

Также полезно будет рассмотреть простую модельную задачу. Пусть $l = n$ и матрица объекты-признаки является единичной $F = I$. Тогда МНК-решение дает вектор коэффициентов $\beta$:

$\beta^* = argmin(\sum_{i=1}^l(\beta_{i} - y_{i})^2)$

$\beta_{j}^* = y_{j}$

В случае с гребниевой регрессией:

$\beta_{j}^* = \frac{y_{j}}{1 + \lambda}$

В случае с лассо регрессией:

$\beta_{j}^* = \begin{cases} y_{j} - \lambda / 2, y_{j} > \lambda / 2 \\ y_{j} + \lambda / 2, y_{j} < -\lambda / 2 \\ 0, |y_{j}| \leq \lambda / 2 \end{cases}$

В итоге на Рис. 4 на графиках с зависимостями $\beta_{j}^*$ от $y_{j}$ можно увидеть описанные ранее особенности данных регуляризованных линейных регрессий.

Рис.4. Сравнение гребневой и лассо регрессий, пример для простой модельной задачи.

Регуляризация в алгоритмах

Градиентный спуск

Алгоритм градиентного спуска используют для нахождения аппроксимирующей зависимости, определяя вектор весов $w \in R^n$, при котором достигается минимум эмпирического риска:

$Q(w, X^l)=\sum_{i=1}^l\mathcal{L}(y_{i}, \langle w, x_{i} \rangle) \rightarrow min_{w}$

В этом методевыбирается некоторое начальное приближение для вектора весов $w$, затем запускается итерационный процесс, на каждом шаге которого вектор w изменяется в направлении наиболее быстрого убывания функционала Q — противоположно вектору градиента $Q'(w)=(\frac{\partial Q^(w)}{\partial w_{j}})_{j=1}^n$:

$w := w - \eta Q'(w)$,

где $\eta \gt 0$ — величина шага в направлении антиградиента.

Регуляризация — одна из эвристик улучшения градиентных методов обучения. Основным способом уменьшить переобучение является квадратичная регуляризация, называемая также сокращением весов. Чтобы ограничить рост абсолютных значений весов, к минимизируемому функционалу $Q(w)$ добавляется штрафное слагаемое:

$Q_{\tau}(w) = Q(w) + \frac{\tau}{2}\|w\|^2$

Это приводит к появлению аддитивной поправки в градиенте:

$Q′τ (w) = Q′(w) + \tau$

В результате правило обновления весов принимает вид:

$w := w(1 - \eta \tau) - \eta Q'(w)$

Таким образом, вся модификация сводится к появлению неотрицательного множителя $(1 − \eta \tau)$, приводящего к постоянному уменьшению весов.

Регуляризация предовтращает паралич, повышает устойчивость весов в случае мультиколлинеарности, повышает обобщающую способность алгоритма и снижает риск переобучения. Однако есть и недостатки — параметр $\tau$ необходимо выбирать с помощью кросс-валидации, что связано с большими вычислительными затратами.

Метод опорных векторов

Метод опорных векторов (SVM) используется для задач классификации и регрессии. В нем строится гиперплоскость, разделяющая объекты выборки оптимальным образом.

К сожалению, зачастую выборка является линейно неразделимой. В таком случае приходится "ослаблять ограничения", позволяя некоторым объектам попадать на территорию другого класса. Для каждого объекта от отступа отнимается некоторая положительная величина $\xi_i$, но требуется, чтобы введенные поправки были минимальны. В итоге постановка задачи SVM с мягким отступом (англ. soft-margin SVM) выглядит следующим образом: $\begin{cases} \frac{1}{2} \lVert w \rVert^2 + C \sum\limits_{i=1}^\ell \xi_i \to \min\limits_{w, b, \xi} \\ M_i(w, b) \geq 1 - \xi_i, \quad i = 1, \ldots, \ell \\ \xi_i \geq 0, \quad i = 1, \ldots, \ell \\ \end{cases}$

Как показано в соответствующем данному алгоритму разделе, эквивалентной задачей безусловной минимизации является: $Q(w, b) = \frac{1}{2C} \lVert w \rVert^2 + \sum\limits_{i=1}^\ell \left(1 - M_i(w, b)\right)_+ \to \min\limits_{w, b}$

В силу неравенства $[M_{i} < 0] \leq (1 - M_{i})_{+}$, функционал $Q(w, b)$ можно рассматривать как верхнюю оценку эмпирического риска, к которому добавлен регуляризатор $\frac{1}{2C} \|w\|^2$.

С введением регуляризатора устраняется проблема мультиколлинеарности, повышается устойчивость алгоритма, улучшается его обобщающая способность.

В результате получаем, что принцип оптимальной разделяющей гиперплоскости или максимизации ширины разделяющей полосы в случае неразделимой выборки тесно связан с $L_{2}$-регуляризацией, которая возникает естественным образом из постановки задачи.

Также существуют разновидности SVM с другими регуляризаторами.

• Метод релевантных векторов (англ. RVM, Relevance vector Machine):

$\frac{1}{2}\sum_{i=1}^l(\ln \beta_{i} + \frac{\lambda_{i}^2}{\beta_{i}})$

• Метод опорных векторов с лассо (англ. LASSO SVM):

$\mu \sum_{i=1}^n|\beta_{i}|$

• Метод опорных признаков (англ. Support feature machine):

$\sum_{i=1}^nR_{\mu}(\beta_{i}), \begin{cases} 2 \mu |\beta_{i}|, |\beta_{i}|<\mu \\ \mu^2 + \beta_{i}^2, |\beta_{i}| \geq \mu \end{cases}$

Другие использования регуляризации

Логистическая регрессия

Как было показано в мотивационном примере, для логистической регрессии полезно использовать регуляризацию.

Для настройки вектора коэффициентов $\beta$ по обучающей выборке $X^l$ максимизируют логарифм правдоподобия:

$L(\beta, X^l) = log_{2}\prod_{i=1}^lp(x_{i}, y_{i}) \rightarrow max_{w}$

$L(\beta, X^l) = \sum_{i=1}^{l}log_{2}\sigma(\langle \beta, x_{i} \rangle y_{i}) + const(w) \rightarrow max_{w}$

$L_{2}$-регуляризация:

$L(\beta, X^l) = \sum_{i=1}^{l}log_{2}\sigma(\langle \beta, x_{i} \rangle y_{i}) - \lambda \| \beta \|^2 + const(w) \rightarrow max_{w}$

$L_{1}$-регуляризация:

$L(\beta, X^l) = \sum_{i=1}^{l}log_{2}\sigma(\langle \beta, x_{i} \rangle y_{i}) - \lambda \|\beta \|_{1} + const(w) \rightarrow max_{w}$

Аналогично можно использовать и другие регуляризаторы.

Нейронные сети

Регуляризация также используется и в нейронных сетях для борьбы со слишком большими весами сети и переобучением. Однако, в этом случае зануление коэффициентов при использовании $L_{1}$-регуляризатора не несет в себе смысл "отбора признаков", как в случае с линейными моделями. Регуляризация не снижает число параметров и не упрощает структуру сети.

Для нейронной сети помимо добавления "штрафного" слагаемого к эмпирическому риску используют и другой метод регуляризации — прореживание сети (англ. dropout), в ходе которого упрощают сеть, руководствуясь правилом — если функция ошибки не изменяется, то сеть можно упрощать и дальше. Подробнее об этом можно почитать в статье, рассказывающей о практике реализации нейронных сетей.

См. также

• Переобучение
• Модель алгоритма и её выбор
• Байесовская классификация
• Вариации регрессии
• Линейная регрессия
• Логистическая регрессия
• Стохастический градиентный спуск
• Метод опорных векторов (SVM)
• Нейронные сети, перцептрон
• Практики реализации нейронных сетей

Источники информации

• Воронцов К.В. — Математические методы обучения по прецедентам
• Википедия — Регуляризация (математика)
• coursea.org — Регуляризация
• machinelearning.ru — L1-регуляризация линейной регрессии
• medium.com — 5 видов регрессии и их свойства
• Wikipedia — Elastic net regularization
• Keng B. — A Probabilistic Interpretation of Regularization