Смежные классы, теорема Лагранжа, нормальные подгруппы, факторгруппы — различия между версиями
(Новая страница: «== Смежные классы == Левым смежным классом группы <math>G</math> по множеству <math>H</math> назовем множ…») |
(→Теорема Лагранжа) |
||
(не показано 11 промежуточных версий 3 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
== Смежные классы == | == Смежные классы == | ||
− | Левым смежным классом группы < | + | Левым смежным классом группы <tex>G</tex> по множеству <tex>H</tex> назовем множество вида <tex>aH=\lbrace a\cdot x\vert x\in H\rbrace\subseteq G</tex> |
− | Аналогично определяется и правый смежный класс < | + | Аналогично определяется и правый смежный класс <tex>Ha</tex>. Для определенности далее рассматриваем только левые смежные классы, все результаты непосредственно переносятся и на правые. |
− | '''Теорема''': Левые смежные классы < | + | '''Теорема''': Левые смежные классы <tex>G</tex> по подгруппе <tex>H</tex> либо не пересекаются, либо совпадают. |
− | '''Доказательство''': Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса < | + | '''Доказательство''': Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса <tex>aH</tex> и <tex>bH</tex> с общим элементом <tex>c</tex>. Докажем, что <tex>aH\subseteq bH</tex>. Пусть <tex>g=a\cdot h,\,h\in H</tex> принадлежит <tex>aH</tex>. Известно: <tex>c=a\cdot h_a=b\cdot h_b,\,h_a,h_b\in H\, \Rightarrow a=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}</tex>. |
− | Тогда < | + | Тогда <tex>g=a\cdot h=b\cdot h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h \in bH</tex>, поскольку <tex>h_b\cdot h_a^{-1}\cdot h\in H</tex>. Значит, <tex>aH\subseteq bH</tex>. Аналогично <tex>bH\subseteq aH</tex>. |
== Теорема Лагранжа == | == Теорема Лагранжа == | ||
− | + | {{Теорема | |
+ | |id=th3 | ||
+ | |author=Лагранж | ||
+ | |statement= | ||
+ | В конечных группах порядок любой подгруппы делит порядок группы | ||
+ | |proof= | ||
+ | Пусть <tex>G</tex> - конечная группа, а <tex>H</tex> - ее подгруппа. Любой элемент <tex>G</tex> входит в некоторый смежный класс по <tex>H</tex> (<tex>a</tex> входит в <tex>aH</tex>). Мощность каждого класса равна <tex>\vert H\vert</tex>, т.к. отображение <tex>x\rightarrow a\cdot x </tex> биективно. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что <tex>\vert G\vert</tex> делится на <tex>\vert H\vert</tex>. | ||
+ | }} | ||
− | ''' | + | '''Следствие:''' <tex>a^{\vert G\vert}=e</tex>. Достаточно рассмотреть циклическую подгруппу <tex>H=\langle a\rangle</tex>: ее порядок равен порядку элемента <tex>a</tex>, но <tex>a^{\vert G\vert}=a^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}\vert H\vert}=(a^{\vert H\vert})^{\frac{\vert G\vert}{\vert H\vert}}=e</tex>. |
− | '''Следствие:''' < | + | '''Следствие:'''(теорема Ферма) Рассматривая в качестве <tex>G</tex> группу <tex>\mathbb{Z}_p</tex>, получаем при <tex>a<p</tex>: |
− | + | <tex>a^{\vert \mathbb{Z}_p\vert}=a^{p-1}\equiv 1\mod p \Leftrightarrow a^p\equiv a\mod p</tex> | |
− | |||
− | |||
== Нормальные подгруппы == | == Нормальные подгруппы == | ||
− | Подгруппа < | + | Подгруппа <tex>H</tex> группы <tex>G</tex> называется '''нормальной подгруппой''', если для любых <tex>x\in G</tex> выполнено <tex>xHx^{-1}=H</tex>. Т.е.: |
− | < | + | <tex>\forall x\in G,\,\forall h\in H : x\cdot h\cdot x^{-1}\in H</tex> |
== Факторгруппа == | == Факторгруппа == | ||
− | Рассмотрим группу < | + | Рассмотрим группу <tex>G</tex> и ее нормальную подгруппу <tex>H</tex>. Пусть <tex>G/H</tex> - множество смежных классов <tex>G</tex> по <tex>H</tex>. Определим в <tex>G/H</tex> групповую операцию по следующему правилу: произведением двух классов является класс, в который входит произведение представителей этих классов. Проверим корректность этого определения. Пусть <tex>aH,bH\in G/H,\,a_1=a\cdot h_a\in aH,\,b_1=b\cdot h_b\in bH</tex>. Докажем, что <tex>abH=a_1 b_1 H</tex>. Достаточно показать, что <tex>a_1\cdot b_1 \in abH</tex>. |
+ | |||
+ | <tex>a_1\cdot b_1=a\cdot h_a\cdot b\cdot h_b=a\cdot b\cdot (b^{-1}\cdot h_a\cdot b)\cdot h_b=a\cdot b\cdot h\cdot h_b\in abH</tex> | ||
+ | |||
+ | Таким образом, фактормножество <tex>G/H</tex> образует подгруппу, которая называется факторгруппой <tex>G</tex> по <tex>H</tex> . Нейтральным элементом является <tex>H</tex>, обратным к <tex>aH</tex> - <tex>a^{-1}H</tex>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | [[Категория: Теория групп]] | ||
− | + | [[Категория: В разработке]] |
Версия 13:37, 18 апреля 2020
Смежные классы
Левым смежным классом группы
по множеству назовем множество вида Аналогично определяется и правый смежный класс . Для определенности далее рассматриваем только левые смежные классы, все результаты непосредственно переносятся и на правые.Теорема: Левые смежные классы
по подгруппе либо не пересекаются, либо совпадают.Доказательство: Достаточно доказать, что если классы пересекаются, то они совпадают. Рассмотрим два класса
и с общим элементом . Докажем, что . Пусть принадлежит . Известно: . Тогда , поскольку . Значит, . Аналогично .Теорема Лагранжа
Теорема (Лагранж): |
В конечных группах порядок любой подгруппы делит порядок группы |
Доказательство: |
Пусть | - конечная группа, а - ее подгруппа. Любой элемент входит в некоторый смежный класс по ( входит в ). Мощность каждого класса равна , т.к. отображение биективно. Таким образом, вся G распадается на непересекающиеся смежные классы одинаковой мощности. Отсюда очевидно, что делится на .
Следствие:
. Достаточно рассмотреть циклическую подгруппу : ее порядок равен порядку элемента , но .Следствие:(теорема Ферма) Рассматривая в качестве
группу , получаем при :
Нормальные подгруппы
Подгруппа
группы называется нормальной подгруппой, если для любых выполнено . Т.е.:
Факторгруппа
Рассмотрим группу
и ее нормальную подгруппу . Пусть - множество смежных классов по . Определим в групповую операцию по следующему правилу: произведением двух классов является класс, в который входит произведение представителей этих классов. Проверим корректность этого определения. Пусть . Докажем, что . Достаточно показать, что .
Таким образом, фактормножество
образует подгруппу, которая называется факторгруппой по . Нейтральным элементом является , обратным к - .