1302
правки
Изменения
→Интегрируемость непрерывного преобразования интегрируемой функции: уже не помню что правил
Тогда нам нужно доказать, что <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0 \Rightarrow \omega(F \circ f, \tau) \to 0</tex>
<tex>\tau \colon : a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n < b</tex>
<tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |F(f(\overline{x}_k)) - F(f(\tilde{x}_k))| \Delta x_k </tex>, (где <tex>\overline{x}_k, \tilde{x}_k \in [x_k; x_{k + 1}]</tex>)<tex>\leq</tex>(из свойств модуля непрерывности) <tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \omega(F, |f(\overline{x}_k) - f(\tilde{x}_k)|) \Delta x_k</tex>
<tex>\leq</tex>(по теореме о выпуклой мажоранте) <tex>(b-a)\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \omega^*(F, |f(\overline{x}_k - f(\tilde{x}_k))|) \frac{\Delta x_k}{b - a}</tex>
(так как <tex>\sum\limits_{k =0}^{n - 1} \frac{\Delta x_k}{b - a} = 1</tex>, а <tex>\omega^*</tex> выпукла вверх)
По только что доказанному,
<tex>\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |f(\overline({x)}_k) - \tilde{x}_k| \frac{\Delta x}{b - a} \leq \frac{1}{b - a} \omega(f, \tau)</tex>
Отсюда, по монотонности модуля непрерывности,
<tex>\omega(F \circ f, \tau) \leq 2(b - a)\omega(f, \frac1{b - a} \omega(f, \tau))</tex>
По условию, <tex>f \in \mathcal{R}(a, b) \Rightarrow \omega(f, \tau) \to 0</tex> при <tex>\operatorname{rang} \tau \to 0</tex>
Тогда, по непрерывности в нуле <tex>\omega</tex>,
