Обсуждение участника:Sancho20021

Теорема о нижней оценке на число элементов в схеме

Теорема:

Большинство булевых функций требуют для реализации порядка [math]\Omega(\frac{2^n}{n})[/math] функциональных элементов, где [math]n[/math] — количество аргументов функции. Формальная запись теоремы: [math]f(n) = \frac{2^n}{n} \; \; \; g(n): \frac{g}{f} \longrightarrow 0[/math] [math]F_g = \{\text{Булевы функции, } size \leq g(n)\}[/math] Тогда [math]\frac{|F_g|}{2^{2^n}} \longrightarrow 0[/math]

Для доказательства этой теоремы нам понадобится доказать несколько вспомогательных утверждений.

Определение:

Линейная программа — список строк вида [math](a, (i_1, \ldots, i_k))[/math], где [math]a \in B[/math] (базис), [math]a: \mathbb B^k \rightarrow \mathbb B[/math], [math]i_j[/math] — индексы переменных.

Пример линейной программы

Линейная программа для функции [math]x_1 \oplus x_2[/math] над базисом [math]\{ \land, \lor, \lnot \}[/math]

[math]y_1 = \lnot x_1[/math]

[math]y_2 = \lnot x_2[/math]

[math]y_3 = x_1 \land y_2[/math]

[math]y_4 = x_2 \land y_1[/math]

[math]y_5 = y_3 \lor y_4[/math]

Длина линейной программы — количество строк.

Теорема:

Для булевой функции [math]f \; \exists[/math] линейная программа длины [math]r \Leftrightarrow \exists [/math] схема, использующая [math]r[/math] функциональных элементов.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Чтобы построить по схеме программу, можно занумеровать элементы схемы в порядке топологической сортировки, и для каждого элемента [math]m[/math] с функцией [math]a[/math] и входами [math]i_1, \ldots, i_k[/math] сопоставить строчку линейной программы с номером [math]m[/math] вида [math](a, (i_1, \ldots, i_k))[/math]. Построение функциональной схемы по линейной программе очевидно.

[math]\triangleleft[/math]