689
правок
Изменения
пофиксил всякие нехорошие вещи
}}
== Предел сложного отображения == {{TODO| t=привести условие и доказательство теоремы в порядок}}
Если <tex>f</tex> имеет предел, то в ситуации общих МП:
предел сложного отображения
|statement=
|proof=
: <tex>\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta_1 > 0 : 0 < \bar \rho (y, b) < \delta_1 \Rightarrow \bar{\bar \rho}(g / y, d) < \varepsilon \\
<tex> \Leftarrow </tex>:
: Пусть <tex> x \notin F </tex>, тогда <tex>x \in X \backslash F = G = \bigcup\limits_{\alpha}{V_{r_\alpha}(x_{\alpha}})</tex>.
: Значит, <tex> x \in V_r(y) </tex> и <tex> \rho(x, y) < r</tex>, <tex> F \bigcap V = \emptysetvarnothing</tex>.: Но, так как <tex>\rho(x, F) = 0</tex>, то <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists a \in F: \rho(x, a) < \varepsilon</tex>.
: По неравенству треугольника, <tex> \rho(y, a) < \rho(y, x) + \rho(x, a) < r + \varepsilon </tex>. При <tex>\varepsilon \rightarrow 0</tex> получаем, что <tex> \rho(y, a) < r </tex>, значит, точка <tex> a </tex> принадлежит открытому шару, значит <tex> F \bigcap V \ne \emptysetvarnothing</tex>, получили противоречие.
}}
Любое МП - нормальное.
Пусть <tex> (X, \rho) </tex> - МП. <tex> F_1 \cap F_2 = \varnothing </tex>, F_1, F_2 - замкнутые <tex> \Rightarrow \exists G_1, G_2: F_j F_1 \in G_j subset G_1, j = 1, 2F_2 \subset G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing </tex>
|proof=
<tex> f(x) = \frac {\rho(x, F_1)} {\rho(x, F_1) + \rho(x, F_2)} </tex>. Т.к. <tex> F_1 \cap F_2 = \varnothing </tex> и <tex> F_1, F_2 </tex> - замкнуты, то знаменатель не равен 0. Следовательно, <tex> f(x) </tex> корректна и непрерывна в силу непрерывности <tex> \rho </tex>. При этом: <tex> x \in F_1 \Rightarrow f(x) = 0; x \in F_2: f(x) = 1 </tex>. Рассмотрим на R пару интервалов: <tex> (- \infty; \frac 1 3) </tex> и <tex> (\frac 1 2, + \infty) </tex>. Т.к. <tex> f(x) </tex> неперывна, то прообраз открытого множества - открытое множество(Это это другое определение непрерывного отображения, оно почти эквивалентно тому, которое было дано ранее. Хотя это надо бы еще доказать...).
: <tex> G_1 = f^{-1} ( - \infty; \frac 1 3); G_2 = f^{-1}(\frac 1 2, + \infty) </tex>
: <tex> F_1 \in G_1; F_2 \in G_2; G_1 \cap G_2 = \varnothing </tex>, ч.т.д.
{{Теорема
|about=(топологическое определение непрерывности)
|statement=
Пусть у нас есть <tex> f :(X, \rho) \to (Y, \rho), </tex> тогда
<tex> \delta </tex> можно найти для любого p значит прообраз открыт
}}
Замечание: так как замкнутые множества являются дополнениями открытых, то отсюда напрямую следует, что прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении замкнут.
== Свойства непрерывных отображений ==
}}
<tex> [a, b] </tex> на <tex> \mathbb{R} </tex> - классический пример.
Легко (???) видеть что если K - компакт, то оно ограниченное, замкнутое. Ограниченное множество можно пометить в шар. Обратное не верно в общем случае.
2)
{{Теорема
|about=
свойство связанного множествана вещественной оси
|statement=
Вместе с парой точек оно содержит отрезок с концами в этих точках.
{{Теорема
|statement=
Пусть K - компакт в <tex> (YX, \rho'); f: K \rightarrow(neprerivno) (Y, \rho') \Rightarrow , f </tex> {{---}} непрерывное отображение. Тогда <tex>f(K) </tex> - компакт в <tex> (Y, \rho') </tex>( непрерывный образ K есть Kкомпакта {{---}} компакт).
|proof=
Рассмотрим <tex> y_n \in f(K) \Rightarrow y_n = f(x_n), x_n \in K </tex>.
<tex> \exists x_{nkn_k} \rightarrow x \in K </tex>. По непрерывности <tex> f(K): y_{nkn_k} = f(x_{nkn_k}) \rightarrow y = f(x) \in f(K) </tex>, ч.т.д.
}}
