Обсуждение участника:178.70.143.94 — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «==Связные графы== {{Определение |definition= <tex dpi="130">CONN_{n}</tex> - количество связных графов порядк…»)
(нет различий)

Версия 22:48, 19 июня 2020

Связные графы

Определение:
[math]CONN_{n}[/math] - количество связных графов порядка [math]n[/math].


Лемма:
Количество помеченных графов порядка [math]n[/math] равно [math]2^{\binom{n}{2}}[/math]. Обозначается как [math]G_{n}[/math].
Утверждение:
[math]CONN_{n}=G_{n} - \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n-1}k\binom{n}{k}G_{n-k}CONN_{k}[/math], — количество связных графов порядка n.
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим соотношение количества связных и несвязных графов. Очевидно, что [math]CONN_{n}=G_{n}-X_{n}[/math], где [math]X_{n}[/math] — количество несвязных графов. Также [math]X_{n}=\dfrac{Y_{n}}{n}[/math], где [math]Y_{n}[/math] — количество корневых[1] несвязных графов.

Вычислим [math]Y_{n}[/math]. Заметим, что, так как граф является несвязным, то в нём найдётся компонента связности, внутри которой лежит корневая вершина, а остальной граф будет представлять собой одну или более компонент связности. Переберем количество вершин в компоненте связности, содержащей корневую вершину. [math](k=1\ldots n-1)[/math]. Для каждого [math]k[/math] посчитаем количество таких графов. Количество способов выбрать [math]k[/math] вершин из [math]n[/math] равно [math]\binom{n}{k}[/math]. Оставшийся граф является произвольным, таким образом количество помеченных графов в нем равно [math]G_{n-k}[/math]. Количество способов выделить корневую вершину в компоненте связности из [math]k[/math] вершин равно [math]k[/math]. Также количество связных графов в компоненте связности с корневой вершиной равно [math]CONN_{k}[/math].

Итого, для фиксированного [math]k[/math] количество корневых несвязных графов:

[math]Y_{n}=k\binom{n}{k}CONN_{k}G_{n-k}[/math].

Значит, количество несвязных графов с [math]n[/math] вершинами равно:

[math]X_{n}=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n-1}k\binom{n}{k}CONN_{k}G_{n-k}[/math]

Таким образом количество связных графов порядка [math]n[/math]:

[math]CONN_{n}=G_{n}-\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n-1}k\binom{n}{k}G_{n-k}CONN_{k}[/math]
[math]\triangleleft[/math]