1679
правок
Изменения
м
→Перестановка, меняющая сумму ряда: неправильный коэффициент
|proof=
Так как общее слагаемое ряда стремится к нулю, то достаточно показать, что сходится ряд с расставленными скобками:
:<tex>\sum\limits_{k = 0}^{\infty} \left ( \frac 1{2k+1} - \frac 1{2k4k+2} - \frac 1{4k + 4} \right )</tex>
Рассмотрим частичную сумму ряда с расставленными скобками:
:<tex>\sum\limits_{k = 0}^{n} \left ( \frac 1{2k+1} - \frac 1{2k4k+2} - \frac 1{4k + 4} \right ) = \left ( 1 + \frac 13 + \dots + \frac 1{2n+1} \right ) - \left ( \frac 12 + \frac 14 + \dots + \frac 1{4n+4} \right ) =</tex>
:<tex>= H_{2n} - \frac 12 H_n - \frac 12 H_{2n+2} = \frac 12 \left ( H_{2n} - H_n - \frac 1{2n+1} - \frac 1{2n+2} \right ) \rightarrow \frac{\ln 2}2</tex>
}}
