Изменения

|definition = '''Случайное блуждание''' (англ. ''Random walk'') {{---}} математическая модель процесса случайных изменений — шагов в дискретные моменты времени. При этом , предполагается, что изменение на каждом шаге не зависит от предыдущих и от времени. '''Соедини в одно предложение, переформулируй''' В силу простоты анализа эта модель часто используется в разных сферах в математике, экономике, физике, но, как правило, такая модель является существенным упрощением реального процесса.

перемещается в точку <tex>k − 1</tex>. '''Тех'''Физической системе соответствует [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%B0%D1%80%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%86%D0%B5%D0%BF%D1%8C цепь Маркова]: '''лучше сделать тут кликабельным'''

Выведем распределение случайной величины <tex>\xi_n</tex>. '''Кажется, это предложение можно выкинуть и ничего не изменится''' Будем считать, что <tex>P(\xi_0 = m) = 1</tex>. Это отвечает соответствует тому, '''переформулируй, пожалуйста, не очень корректный оборот''' что в начальный момент времени частица достоверно '''лишнее слово''' находилась в точке

Справедливо очевидное '''лишнее слово''' равенство:

схеме [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%85%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8#:~:text=%D0%A1%D1%85%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9%20%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8%20(%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%BB.,%2C%20%D0%B0%20%D0%BD%D0%B5%D1%83%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0%20%E2%80%94%20%D1%81%20%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%D1%8E%20 независимых испытаний Бернулли '''лучше сделать ссылку на конспекты, если в них это есть, или хотя бы на Википедию''' ] с двумя исходами —- прыжком движением вправо, который мы будем называть успехом, и прыжком '''лишнее определение, можно писать "перемещение" или "движение"''' движением вправо (неудачей). В рамках этойматематической модели все вероятности рассчитываются на основании распределения Бернулли. '''Лишнее предложение''' Пусть частица сделала <tex>n</tex> прыжков. Вероятность того, что среди

*<tex>P = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}, \quad k = 0, 1, . . . , n</tex> (1) '''Это сумма? Если да, так и напиши'''

Смещение частицы и число прыжков влево и вправо связаны простейшим '''лишнее слово''' уравнением*<tex>d = 1 · k + (−1) · (n − k) = 2k − n \quad</tex> (2) '''(1) и (2) разным шрифтом. И такие собственные сноски тоже лучше делать кликабельными. Можно вынести их в отдельные разделы статьи'''

откуда <tex>k = \frac{(n + d)}{2}</tex>. Понятно, что, поскольку частица сделала ровно <tex>n </tex> прыжков, '''Тех'''

ограничение выполнено, то в рамках нашей модели блужданий мы можем воспользоваться распределением Бернулли (1)<tex>P = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}</tex>: '''вот тут хочется кликнуть на (1)'''

*<tex> P(\xi_n = m + d) = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}, \quad k = \frac{(n + d)}{2} </tex>, при обязательном условии <tex>k ∈ {0, 1, . . . , n}.</tex> (3)

Замечание'''Замечания'''. <tex>1)</tex> Ограничение <tex>0 \leq k \leq n </tex> по формуле <tex>d = 1 · k + (2−1) · (n − k) = 2k − n</tex> влечёт <tex>|d| \leq n</tex>. Этоможно понять и без расчётов: если <tex>|d| > n</tex>, то частица «не успевает» '''в научных текстах не должно быть ненаучных выражений в кавычках''' успевает дойти из начальной в конечную точку за <tex>n</tex> шагов, даже двигаясь строго в одном направлении(налево при <tex>d < 0</tex> и направо при <tex>d > 0</tex>). Ограничение на значения <tex>k</tex> согласованои с (3): биномиальный коэффициент <tex>{C_{n}^k}</tex> не определён при <tex> k \notin \{0, 1, . . . , n\}</tex>. Мыможем даже считать формулу (3) верной при любом <tex>k</tex>, если положим по определению<tex>C_{n}^k = 0 </tex> для <tex> k \notin \{0, 1, . . . , n\}</tex>. Число шагов <tex>n</tex> и смещение <tex>d</tex> должны иметь какцелые числа одну чётность. Вероятность (3) не зависит от начального положения <tex>m</tex> и определяется только числом шагов <tex>n</tex> (номером члена последовательности2) и смещением <tex>d</tex>.При своём движении частица случайным образом «выбирает» '''то же самое''' выбирает одну из возможных траекторий. Для перехода из точки

d)}{2}</tex>. Равенство (1) <tex>P = {C_{n}^k} p^k q^{n−k}</tex> при этом можно интерпретировать так: вероятность того, что частица пройдет по одной из возможных траекторий, равна <tex>p^k q^{n−k}</tex>, и всего существуют <tex>{C_{n}^k}</tex> таких траекторий, таким образом, *<tex>P = p^k*\cdot q^{n−k}+...+p^k*\cdot q^{n−k}={C_{n}^k} p^k q^{n−k}.</tex> == Случайные блуждания по прямой ==

'''Хотелось бы чуть структурироватьПредставим частицу, выглядит, как стена текстакоторая движется по целым точкам на прямой. Перемещение из одной точкив другую происходит через равные промежутки времени. Оформить замечание За один шаг частица из точки k с положительной вероятностью p перемещается в специальную сноску или точку <tex>k + 1</tex> и с положительной вероятностью <tex>q = 1 − p</tex>перемещается в отдельный блок, выделить главноеточку <tex>k − 1</tex>.Физической системе соответствует [https://neerc.ifmo.ru/wiki/index. Сейчас замечание выглядит важнееphp?title=%D0%9C%D0%B0%D1%80%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%86%D0%B5%D0%BF%D1%8C цепь Маркова]: *<tex>\xi_n = \xi_{n-1} + \eta_n = \xi_0 + S_n, чем факт\eta_n = \begin{cases} 1 &\text{с вероятностью p}\\-1 &\text{с вероятностью 1 - p} \end{cases}</tex> Заметим, к которому оно приложено, а это не должно быть так'''что вернуться в какую-либо точку можно только за четное число шагов.

Обсудим блуждание на примере задачи о разорении. '''Лишнее предложение''' Пусть начальный капитал <tex>\xi_0</tex> первогоигрока составляет <tex>k</tex> рублей, а капитал второго игрока '''поставь теховское тире''' – <tex>– (n − k)</tex> рублей. Первый игрок выигрывает

<tex>\quad P\{\eta = 0|\xi_t = 0 ∨ \xi_t = n\} = 1. </tex> <tex> (2.1)</tex>

*<tex> \quad p_{kn}(t + 1) = p*\cdot p_{k+1,n}(t) + q*\cdot p_{k−1,n}(t), \quad k = 1, 2, . . . , n − 1.</tex> '''в формулах следует писать не *, а \cdot'''

ЗаметимТеорему о предельных вероятностях применить не можем, но заметим, что:

<tex> \quad \quad \{\xi_1 = n\} ⊂ \{\xi_2 = n\} ⊂ · · · ⊂ \{\xi_t = n\} ⊂ . . . </tex> '''Это события? Не очень понятно, что ты имеешь ввиду'''

Переходя к пределу в <tex>(2.1) </tex> при <tex>t → ∞</tex>, получим

<tex>\quad \quad p_{kn} = p*\cdot p_{k+1,n} + q*\cdot p_{k−1,n}</tex>

*<tex> \quad \quad p*\cdot f_{k+1} − f_{k} + q*\cdot f_{k−1} = 0 </tex> <tex> (2.2)</tex>

Пусть сначала <tex>p ≠ q</tex>. Решение будем искать в виде <tex>f_k = \lambda^k</tex>, где <tex>\lambda</tex> является корнем характеристического уравнения <tex>p\lambda^2 − \lambda + q = 0</tex>. Корнями такого уравнения являются <tex>\lambda_1 = 1, \lambda_2 = \frac{q/}{p}</tex>.

Значит, функции <tex>\lambda_1^k</tex> и <tex>\lambda_2^k</tex> удовлетворяют уравнению <tex>(2.2)</tex>. Линейная комбинация

*<tex>\quad f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex> (2.3)

при любых <tex>C_1</tex> и <tex>C_2</tex> также является решением. Подставляя граничные условия в (2.3)<tex> f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex>, при <tex>k = 0</tex> и <tex>k = n</tex> получим

<tex>\quad C_1 + C_2 = 0, \quad C_1 + (\frac{q/}{p})^nC_2 = 1.</tex>

Отсюда и из (2.3) <tex>f_k = C_1λ^k_1 + C_2λ^k_2</tex> находим

*<tex>\quad p_{kn} = \frac{(1 − q/p)^k/}{(1 − (q/p)^n)}.</tex> '''Оформи дроби через \frac'''

Вероятности выигрыша первым игроком <tex>p_{k0}</tex> тоже удовлетворяют уравнению <tex>(2.2)</tex>. Но граничными

<tex>\quad p_{k0} = \frac{((q/p)^k − (q/p)^n)/}{(1 − (q/p)^n)}.</tex>

Пусть теперь <tex>p = q = 1/20.5</tex>. В этом случае <tex>\lambda_1 = \lambda_2 = 1</tex> и решение уравнения <tex>(2.2) </tex> нужно искать в виде <tex>f_k = C_1 + kC_2 .</tex>

<tex>\quad A_n = \{\exists t : \quad \xi_t = 0 </tex> в некоторый момент времени , <tex>\quad \forall t</tex>, <tex>: \quad \xi_t ∈ [0, n)</tex> во все моменты <tex>t\}</tex> '''Лучше не писать текстом в математических объектах и не использовать математические объекты как сокращения в тексте. тут лучше ввести новую переменную и раскрыть её смысл вне системы'''равна

<tex> \quad p_{k0} = \begin{cases} \frac{((q/p)^k − (q/p)^n)/}{(1 − (q/p)^n)}, &\text{если p≠q}\\1 − k/n, &\text{если p=0.5}

*<tex>p_k = \lim_{n\to\infty}P(A) = \lim_{n\to\infty}p_{k0}=\begin{cases} (\frac{q/}{p})^k, &\text{если q меньше p}\\1, &\text{если q≥p}

* [http://math.csu.ru/new_files/students/lectures/teor_slych_proc/solovev_teor_slych_proc.pdf Конспект лекций по теории случайных процессов А.А. Соловьев]* Физический факультет МГУ им[https://cmp. Мphys.Вmsu. Ломоносова "ru/sites/default/files/02_RandomWalks.pdf Случайные блуждания"по прямой]