Изменения

Пусть <tex> (X, \rho) </tex> {{- --}} МП. <tex> K \in X </tex> является '''компактом''' в X, если из любой последовательности точек принадлежащих K можно выделить сходящуюся подпоследовательность <tex> x_n: \lim x_n \in K </tex>.

{{Утверждение|statement = Легко(???) видеть что если K {{--- }} компакт, то оно ограниченное, замкнутое. Ограниченное множество можно пометить в шар. Обратное не верно в общем случаене верно.|proof = Докажем от противного. Предположим, что K неограниченное.То есть <tex> \forall x \in K, \forall\varepsilon > 0 \exists x_1 \in K : \rho (x, x_1) > \varepsilon</tex>. Тогда мы можем построить последовательность из таких точек <tex>x_i: \rho (x_i, x_{i+1}) > \varepsilon</tex>. Эта последовательность неограниченна и из нее нельзя выделить сходящуюся. Но К {{---}} компакт, получили противоречие с определением компакта.То, что K {{---}} замкнутое, следует из основного характеристического свойства замкнутых множеств.}}