Функциональные зависимости: замыкание, эквивалентность и правила вывода

Замыкание множества функциональных зависимостей

Определение:

Замыкание множества функциональных зависимостей [math]S[/math] - множество всех функциональных зависимостей, обозначаемое [math]S^+[/math], которые следуют из заданного множества функциональных зависимостей [math]S[/math].

Построение

Set<E> buildClosure(s: Set<E>): 
  closure = Set<E>(s.addAll())
  changed = true
  while (changed): 
    changed = false
    for f in closure:
       for rule in rules:     //rules - правила вывода
         new_f = rule.apply(f)
         changed = closure.add(new_f)    //add - возвращает true, если элемент был добавлен, false - иначе
  return closure

Эквивалентность множеств функциональных зависимостей

Здесь и далее [math]S, P[/math] - множества функциональных зависимостей.

Определение:

[math]S[/math] слабее [math]P[/math] ([math]P[/math] накрывает [math]S[/math]) тогда и только тогда, когда [math]S^+[/math] является подмножеством [math]P^+[/math]: [math]S \sqsubset P \Leftrightarrow S^+ \subset P^+[/math]

Определение:

[math]S[/math] эквивалентно [math]P[/math] ([math]P[/math] накрывает [math]S[/math]): [math]S \equiv P \Leftrightarrow S \sqsubset P \& P \sqsubset S \Leftrigtharrow S^+ = P^+ [/math]