Функциональные зависимости: замыкание атрибутов, неприводимые множества функциональных зависимостей, их построение

Замыкание атрибутов

Определение:

Замыкание множества атрибутов [math]X[/math] над множеством ФЗ [math]S[/math] - максимальное по включению множество атрибутов [math]X^+_S[/math] функционально зависящих от [math]S[/math].

Максимальный размер [math]X^+_S[/math] равен числу атрибутов в отношении.

Основное свойство замыкания множества атрибутов

Теорема:

[math]A \to B \in S^+ \Leftrightarrow B \subset A^+_S[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По определению замыкания атрибутов.

[math]\triangleleft[/math]

Данная теорема позволяет проверять эквивалентность множеств ФЗ без вычисления замыканий ФЗ:
Даны множества [math]S[/math] и [math]P[/math] и пусть для простоты [math]P \subset S[/math], необходимо проверить является ли [math]P[/math] эквивалентным [math]S[/math]. Для этого достаточно построить замыкание [math]P^+_S[/math] и по теореме проверить все фз из [math]S[/math], которые отсутствуют в [math]P[/math]. Если доказать, что из [math]P[/math] выводимы все базовые правила [math]S[/math], то их замыкания ФЗ будут совпадать, следовательно, два множества эквивалентны. Например, пусть [math]A \to B \in S, A \to B \not\in P [/math], тогда если [math]B \in P_S^+[/math], то [math] A \to B \in P^+[/math].

Утверждение:

Следствие: [math]X[/math]- надключ [math] \Leftrightarrow X^+ [/math] - множество всех атрибутов

[math]\triangleright[/math]

[math](=\gt )[/math] По определению замыкания атрибутов, т.к все атрибуты функционально зависят от X. [math](\lt =)[/math] [math]X^+[/math] - множество всех атрибутов и по теореме [math]\exists \; X \to X^+[/math], то по определению функциональной зависимости [math]X[/math] соответствует ровно один [math]X^+[/math] и значит [math]X[/math] - надключ.

[math]\triangleleft[/math]

Данное следствие позволяет формально выделять ключи и надключи.

Построение

[math]X_S^*[/math] = X
do
   foreach [math]A \gets B \in S[/math]:
      if [math]A \subset X_S^*[/math] then [math] X_S^* =  X_S^* \cup B[/math]
while есть изменения

Теорема:

[math]X^+_S = X^*_S[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1) [math]X_S^+ \supset X_S^* [/math] [math]A \subset X_S^* =\gt X \to A[/math](по правилу расщепления, т.к. [math]X_S^*[/math] изначально содержит в себе [math]X[/math]) [math]=\gt X \to B [/math], то есть [math]B[/math] входит в замыкание. </br> 2) [math]X_S^+ \subset X_S^* [/math] Доказательство от обратного: Пусть [math]X_S^+ \not\subset X_S^* =\gt \exists A: A \in X_S^+ \text{ and } A \not\in X_S^*.\; A \in X_S^+ =\gt X \to A =\gt [/math] есть вывод [math] X \to X_1^+, ..., X_n^+ \to A[/math]. В этой цепочке найдём первую свежую ФЗ, то есть она не была в базовых ФЗ [math]X[/math]. Такая фз точно есть в этой цепочке, например, [math]X_n^+ \to A[/math], т.к. [math]A \in X_S^+ \text{ and } A \not\in X_S^* =\gt [/math] такое правило не могло быть в [math]X[/math].

[math]\triangleleft[/math]