Отношение связности, компоненты связности

Случай неориентированного графа

Связность

Определение:

Компоненты связности неориентированного графа [math]G=(V, E)[/math] — такие множества [math]C_i[/math], что [math]C_i \subset V[/math], и между любыми вершинами из одного множества существует путь, а между любыми вершинами из разных множеств — нет.

Теорема:

Для неориентированного графа [math]G=(V, E)[/math] cемейство множеств [math]C_i[/math], удовлетворяющих определению, единственно и образует разбиение множества [math]V[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Докажем, что отношение существования пути, заданное на множестве вершин графа, разбивает множество [math]V[/math] на классы эквивалентности. Рефлексивность: [math]\forall a \in V a \rightsquigarrow a[/math] (очевидно). Симметричность: [math]a\rightsquigarrow b \Rightarrow b\rightsquigarrow a[/math] (в силу неориентированности графа). Транзитивность: [math]a\rightsquigarrow b \land b\rightsquigarrow c \Rightarrow a\rightsquigarrow c[/math] (очевидно).

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Граф [math]G=(V, E)[/math] называется связным, если он состоит из одной компоненты связности. В противном случае граф называется несвязным.

Случай ориентированного графа

В общем случае для ориентированного графа существование пути — нетранзитивное отношение, поэтому вместо понятия связности различают понятие слабой и сильной связности.

Слабая связность

Определение:

Пусть [math]G = (V, E)[/math] — ориентированный граф. Рассмотрим граф [math]G' = (V, E')[/math], составленный из вершин графа [math]G[/math], в котором ребро [math](x, y)[/math] существует тогда и только тогда, когда [math](x, y) \in E \lor (y, x) \in E[/math]. Скажем, что между вершинами [math]v \in G[/math] и [math]u \in G[/math] существет неориентированный путь, если [math]v[/math] и [math]u[/math] связаны путем в [math]G'[/math].

Определение:

Пусть [math]G = (V, E)[/math] — ориентированный граф. Компоненты слабой связности — классы эквивалентности вершин графа [math]C_i[/math], на которые разбивает множество [math]V[/math] отношение существования неориентированного пути.

Определение:

Ориентированный граф [math]G = (V, E)[/math] называется слабо связным, если он состоит из одной компоненты слабой связности.

Сильная связность

Пусть [math]G=(V, E) [/math] — ориентированный граф. Введем отношение на вершинах графа: [math]R(v, u) = v \rightsquigarrow u \land u \rightsquigarrow v[/math]. Очевидно, [math]R[/math] рефлексивно, коммутативно, транзитивно.

Определение:

Пусть [math]G = (V, E)[/math] — ориентированный граф. Компоненты сильной связности — классы эквивалентности вершин графа [math]C_i[/math], на которые разбивает множество [math]V[/math] отношение существования пути между вершинами в обе стороны.

Определение:

Ориентированный граф [math]G = (V, E)[/math] называется сильно связным, если он состоит из одной компоненты сильной связности.