22
правки
Изменения
→Доказательства числа комбинаторных объектов
== Число Количество комбинаторных объектов ==
{| class="wikitable" border = 1
|'''Тип объекта'''||'''Число Количество различных объектов'''
|-
|Битовые вектора||<tex>2^{n}</tex>
|Перестановки||<tex>P_n = n!</tex>
|-
|Перестановки с повторениями||<tex dpi = "150">\widetildeoverline{PP_k}_k (k_1, k_2, \ldots, k_n) = \frac{(k_1 + k_2 + \ldots + k_n)!}{k_1!k_2!\ldots k_n!}</tex>
|-
|Размещения||<tex dpi = "150">A^{k}_n = \frac{n!}{(n - k)!}</tex>
|-
|Размещения с повторениями||<tex>\widetildeoverline{A}_nA_n^k } = n^k</tex>
|-
|Сочетания||<tex dpi = "150">C^{k}_n = \frac{n!}{k!(n - k)!}</tex>
|-
|Сочетания с повторениями||<tex dpi = "150">\widetildeoverline{C}^k_n } = \frac{(n + k - 1)!}{k!(n - 1)!} = C^k_{n + k - 1}</tex>
|-
|Разбиение на неупорядоченные слагаемые||[[Нахождение количества разбиений числа на слагаемые | Нахождение количества разбиений числа на слагаемые]]
|}
==Доказательства числа комбинаторных объектов.==
{{
Теорема | id=1
|statement=
Число различных битовых векторов длины <tex>n</tex> равно <tex>2^{n}</tex>.
|proof=
Теорема | id=3
|statement=
Число различных перестановок с повторениями из <tex>k</tex> элементов с различными <tex>n</tex> группами одинаковых элементов равно <tex>\widetildeoverline{PP_k}_k (k_1, k_2, \ldots, k_n) = \frac{(k_1 + k_2 + \ldots + k_n)!}{k_1!k_2!\ldots k_n!}</tex>, где <tex>k_i</tex> {{---}} это количество одинаковых элементов в <tex>i</tex>{{---}}ой группе.
|proof=
Пусть нам нужно найти количество перестановок с повторениями на множестве <tex>A</tex> в котором из <tex>k</tex> элементов. Будем учитывать, что в этом множестве <tex>n</tex> групп одинаковых элементов. Количество перестановок из <tex>k</tex> элементов, не учитывая того факта, что элементы могут быть одинаковые, будет равна равно <tex>k!</tex>, однако мы также должны учитывать то, что у нас <tex>n</tex> групп с одинаковыми элементами.
В каждой итоговой перестановке у нас будет несколько раз учитываться ситуации с одинаковыми элементами ровно столько раз, сколько можно получить перестановок из <tex>k_i</tex>. Таким образом количество перестановок с одинаковым первым элементом будет равно <tex>k_1!</tex>, для второго элемента {{---}} <tex>k_2!</tex>. Общее количество идентичных перестановок будет равно произведению данных факториалов. Итого одинаковых перестановок {{---}} <tex>k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot m_nk_n!</tex>. Ответом будем являться частное количества всех перестановок и количества одинаковых. Ответ {{---}} Получаем, что итоговое количество равно <tex>\frac{k!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_n!} = \frac{(k_1 + k_2 + \ldots + k_n)!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_n!} </tex>
}}
|proof=
Доказательство по индукции. Пусть База <tex>k = 1</tex>. Тогда , тогда количество размещений из <tex>n</tex> по <tex>1</tex> равно <tex>n</tex>.
При <tex>k \geq 2</tex> воспользуемся правилом произведения. Выбрать первый элемент можно <tex>n</tex> различными способами. При каждом первом элементе, все что осталось образует размещение из оставшегося множества, то есть <tex>(n-1)</tex> элементов, по <tex>(k - 1)</tex>. Следовательно получаем рекуррентную формулу <tex>A_{n}^{k}=n \cdot A_{n-1}^{k-1}</tex>. Отсюда получаем <tex>A_{n}^{k} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n - k)!}</tex>
}}
Теорема | id=5
|statement=
Число различных размещений с повторениями из <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex> равно <tex>\widetildeoverline{A}_nA_n^k } = n^k</tex>
|proof=
При <tex>k \geq 2</tex> воспользуемся правилом произведения. Выбрать первый элемент можно <tex>n</tex> различными способами. При каждом первом элементе, все что осталось образует размещение с повторениями из того же самого множества, то есть из n элементов, по <tex>(k - 1)</tex>. Следовательно получаем рекуррентную формулу <tex>\widetildeoverline{A}_nA_n^k } = n \cdot \widetildeoverline{A}_A_{n}^{k-1}}</tex>. Отсюда получаем <tex>\widetildeoverline{A}_nA_n^k}=n \cdot n \ldots = n^k </tex>
}}
|proof=
Так как размещения с одним и тем же набором выбранных <tex>k</tex> элементов различаются только порядком элементов и число различных перестановок из <tex>k</tex> элементов равно <tex>k!</tex>, то итоговая формула будет равна <tex> C_n^k = \frac{A_n^k}{k!} = \frac{n!}{k!(n - k)!}</tex>
}}
Теорема | id=7
|statement=
Число различных сочетаний с повторениями из <tex>n</tex> элементов по <tex>k</tex> равно <tex>\widetildeoverline{C}^k_n } = \frac{(n + k - 1)!}{k!(n - 1)!} = C^k_{n + k - 1}</tex>
|proof=
Рассмотрим двоичный вектор из <tex>(n+k-1)</tex> координат, состоящий из нулей и единиц, в котором <tex>(n-1)</tex> нулей и <tex>k</tex> единиц.
Будем считать нули разделителями, которые делят этот вектор на <tex>n</tex> кусковчастей.
}}
