Изменения

===пGреобразование Преобразование регулярного выражения в ДКА.===Задача: преобразовать регулярное выражение в ДКА.Алгоритм:1) Преобразовать регулярное выражение в ε-НКА. Будем пользоваться следующим правилом:1. Для регулярного выражения A|B можем построить следующий КА:

2. Для регулярного выражения AB можем построить следующий КАЧтобы преобразовать [[Регулярные языки: 3. Для регулярного выражения A* можем построить следующий КА: 2) Преобразовать ε-НКА в НКА (статья : Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание)3) Преобразовать НКА в ДКА (статья : Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона)Пример: преобразовать регулярное выражение (0|1)*1(0два определения и их эквивалентность|1) в ДКА.1) Преобразуем регулярное выражение (0|1)*1(0|1) ]] в ε-НКА.Построим сначала автомат для 0[[Детерминированные конечные автоматы|1. Для этого воспользуемся правилом 1. Далее принимаем (0|1) за А и строим по правилу 3 выражение (0|1)*. После по правилу 2 соединим (0|1)*ДКА]], 1, и (0|1). 2) Удалим ε-переходы, получим НКА: 3) Преобразуем НКА в ДКА и минимизируем ДКАнужно:

===Преобразование регулярного выражения в НКА=== Преобразование проводится структурной индукцией по выражению <tex>R</tex>, следуя рекурсивному определению [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность| регулярных выражений]]. Необходимо рекурсивно "спуститься" вглубь языка <tex>L(R)</tex>, дойдя до нулевого уровня - <tex>R_0</tex>. Автоматы, распознающие <tex>L(R_0)</tex> представлены на рис. 1, это базис.{| cellpadding="3"|[[Файл:базис.png|150px|thumb|center|рис. 1. a. <tex>\varepsilon</tex> б. <tex>\varnothing</tex> в. <tex>a</tex>]]|}Далее строится выражение <tex>\mathrm{R_{i+1}}</tex>, пока <tex>\mathrm{R_{i}} \ne R</tex> следующим образом: # Выражение имеет вид <tex>R_i|S</tex>, для некоторых выражений <tex>R_i</tex> и <tex>S</tex>. Тогда ему соответствует автомат, представленный на рис. 2.a. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_i|S</tex># Выражение имеет вид <tex>R_iS</tex>. Автомат для этой конкатенации представлен на рис. 2.б. Предполагаем, что <tex>R_i</tex> уже построено, а <tex>S</tex> строится по тому же алгоритму, что и <tex>R</tex>, значит, возможно построить <tex>\mathrm{R_{i+1}} = R_iS</tex># Выражение имеет вид <tex>R_i^*</tex>. Используем автомат, представленный на рис. 2.в. {| cellpadding="3"|[[Файл:RegToAut.png|250px|thumb|center|рис. 2. Индукционный переход преобразования регулярного выражения в НКА]]|} ===Пример=== Задача: Преобразовать регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в ДКА. {| class = "wikitable" !Регулярное выражение!!Автомат|-align="center"|Преобразуем регулярное выражение <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> в <tex>\varepsilon</tex>-НКА. Построим сначала автомат для <tex>0|1</tex>. Это выражение имеет вид <tex>R|S</tex>.| style="background-color:white;" | [[Файл:0+1.png|280px|thumb]]|-align="center"|Далее считаем, что <tex>(0|1)</tex> это подвыражение вида <tex>R</tex>, и строим выражение <tex>(0|1)^*</tex>.| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star.png|280px|thumb]]|-align="center"|Выражение <tex>(0|1)^*1</tex> имеет вид <tex>RS</tex>, <tex>(0|1)^*1(0|1)</tex> имеет тот же вид.| style="background-color:white;" | [[Файл:(0+1)star1(0+1).png|280px|thumb]]|-align="center"|Удалим <tex>\varepsilon</tex>-переходы, согласно алгоритму из[[Автоматы с eps-переходами. Eps-замыкание | статьи]], получим НКА.| style="background-color:white;" | [[Файл:removeEps.png|280px|thumb]]|-align="center"|Преобразуем НКА в ДКА по [[Построение по НКА эквивалентного ДКА, алгоритм Томпсона | алгоритму Томпсона]].| style="background-color:white;" | [[Файл:minDKA.png|280px|thumb]]|-align="center"|} ==Преобразование ДКА в регулярное выражение с помощью алгебраического метода == ===Алгебраический метод Бжозовского.===Создадим систему При преобразовании ДКА в регулярное выражение создается система регулярных выражений с одним регулярным выражением, неизвестным для каждого состояния в ДКА, а затем решим систему она решается для R_λ, где R_λ – регулярное выражениерегулярных выражений <tex>R_i</tex>, связанное связанных с начальным состоянием q_λтерминальным состояниями <tex>q_i</tex>. Строим Построение уравнения происходит следующим образом: для каждого состояния <tex>q_i </tex> уравнение для <tex>R_i </tex> является объединением термовпереходов, ведущих в это состояние. Переход a из <tex>q_i </tex> в <tex>q_j обозначим </tex> обозначается за <tex>aR_i</tex>. Если <tex>q_i</tex> - терминальное состояние, то в <tex>R_i</tex> добавляется <tex>\varepsilon</tex>. Это приводит к системе уравнений вида:

где <tex>a_x </tex> = пустое мн <tex>\varnothing</tex> если нет перехода от <tex>R_i </tex> к <tex>R_j</tex>.Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаев, когда неизвестное появляется как в правой, так и в левой части уравнения. Для этого можно воспользоваться теоремой Ардена:

Решение системы - регулярные выражения для терминальных состояний. Система может быть решена с помощью простой подстановки, за исключением случаевУравнение вида <tex>R = Q + RP</tex>, когда неизвестное появляется как в правойгде <tex>P \ne \varepsilon</tex>, так и в левой части уравненияимеет решение <tex>R = QP^*</tex>. Для этого воспользуемся теоремой Ардена:

Уравнение вида R = Q + RP, где P != \varepsilon, имеет решение R = QP*.Пример===

Пример[[Файл:AutToReg.png|400px|thumb|right]] Задача: Построить регулярное выражение, удовлетворяющее данному ДКА.

R_4 = a*R_2 + b*R_3 + a*R_4 + b*R_4 + \varepsilon

 <tex>R_1 = \varepsilon + abR_1 + baR_1 = = \varepsilon + R_1(ab+ba)</tex> 

 <tex>R_1=(ab+ba)^*</tex> 

 <tex>R_4=R_1(aa+bb)+R_4(a+b)R_4=R_1(aa+bb)(a+b)^*</tex> Объединим выражения для терминальных состояний и получим искомое регулярное выражениеювыражение: <tex>R = R_1 + R_4= (ab+ba)^* (\varepsilon + (aa+bb) (a+b)^*)</tex> ==Источники информации== * ''John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman'' «Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation», 2/E* ''Christoph Neumann'' «Converting Deterministic Finite Automata to Regular Expressions»