Список билетом. Семестр 1

Глава1. Введение в анализ.

1. Множества и операции над ними. Отображения (образ, прообраз, композиция, обратное отображение). 2. Аксиома непрерывности в множестве вещественных чисел (пример квадратного корня из двух), точные грани числовых множеств. 3. Принцип вложенных отрезков. 4. Принцип математической индукции: конечный бином Ньютона, неравенство Бернулли. 5. Понятие о мощности множества, минимальность счетной мощности. 6. Мощность не более чем счетного объединения не более чем счетных множеств, мощность Q. 7. Несчетность вещественного отрезка, мощность R. 8. Определение предела последовательности (eps-N, окрестности), ограниченность сходящейся последовательности, единственность предела. 9. Беск. малые последовательности: арифметика, связь со сходящимися последовательностями. 10. Арифметика предела последовательностей. 11. Предельный переход в неравенстве, принцип сжатой переменной для оследовательностей. 12. Теорема Вейерштрасса о монотонных последовательностях. 13. Число е. 14. Теорема Больцано-Вейерштрасса. 15. Теорема Коши о сходящихся в себе последовательностях.

Глава2. Метрические пространства и непрерывные отображения.

16. Определение МП, шары в МП. 17. Открытые и замкнутые множества в МП. 18. Компакты в МП, теорема Хаусдорфа. 19. Связные множества в МП, критерий связности на вещественной оси. 20. Предел в МП, единственность. 21. Предел отображения в МП, предел сложного отображения. 22. Непрерывные отображения в МП, прообразы открытых и замкнутых множеств. 23. Непрерывность расстояния точки до множества, нормальность МП. 24. Непрерывный образ компакта. 25. Теорема Кантора о равномерной непрерывности. 26. Теорема Вейерштрасса об экстремумах. 27. Непрерывный образ связного множества. 28. Теорема Коши о промежуточных значениях. 29. Классификация точек разрыва функции, разрывы монотонной функции. 30. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции. 31. Непрерывность элементарных функций: xm/n, ex, ln(x), sin(x), arcsin(x). 32. Вычисление пределов (1+x)1/x, (ex-1)/x, ln(1+x)/x, ((1+x)m-1)/(mx). 33. Вычисление предела sin(x)/x.

Глава3. Дифференцируемые функции.

34. Определение дифференциала и производной, критерий дифференцируемости. 35. Арифметика дифференцирования. 36. Производная сложной и обратной функций. 37. Производные элементарных функций. 38. Дифференциалы и производные высших порядков, связь между ними, инвариантность формы записи дифференциалов. 39. Правило Лейбница вычисления производной n-ого порядка произведения функций. 40. Теорема Ферма о значении производной в экстремальной точке. 41. Теорема Дарбу о промежуточных значениях производной. 42. Теорема Ролля о нулях производной. 43. Формула конечных приращений Лагранжа. 44. Формула конечных приращений Коши. 45. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. 46. Формула Тейлора для полиномов. 47. Формула Тейлора с остатком Пеано. 48. Формула Тейлора с остатком Лагранжа. 49. Разложения по формуле Тейлора элементарных функций. 50. Исследование функции на экстремум с помощью формулы Тейлора. 51. Интерполяционная формула Лагранжа и ее остаток. 52. Определение выпуклой функции, неравенство Иенсена. 53. Исследование функции на выпуклость с помощью производной. 54. Неравенство между обобщенными средними геометрическом и арифметическом, неравенство Юнга. 55. Неравенство Гельдера для сумм. 56. Неравенство Минковского для сумм. 57. Модуль непрерывности и его свойства. 58. Теорема о выпуклом модуле непрерывности. 59. Полиномы и теорема Бернштейна. 60. Теорема Вейерштрасса приближении непрерывной функции полиномами.

Глава4. Интеграл Римана.

61. Определение первообразной функции, связь между первообразными одной функции. 62. Неопределенный интеграл: линейность, замена переменной интегрирования, формула интегрирования по частям. 63. Интегральные суммы Римана, необходимое условие интегрируемости. 64. Линейность интеграла Римана, интегрирование неравенства. 65. Суммы Дарбу и их свойства. 66. Критерий интегрируемости по Риману, пример функции Римана. 67. Интегрируемость непрерывного преобразования интегрируемой функции. 68. Аддитивность интеграла Римана. 69. Интегрируемость монотонной и непрерывной функций. 70. Теорема о среднем значении. 71. Теорема Барроу. 72. Формула Ньютона-Лейбница. 73. Определенное интегрирование заменой переменной и по частям. 74. Критерий сходимости несобственных интегралов. 75. Принцип сравнения несобственных интегралов. 76. Абсолютно и условно сходящиеся несобственные интегралы. 77. Остаток формулы Тейлора в интегральной форме. 78. Формула Валлиса. 79. Длина кривой и ее вычисление. 80. Вычисление площадей и объемов некоторых фигур посредством интеграла.

Глава5. Числовые ряды.

81. Определение суммы числового ряда. Необходимый признак и критерий Коши сходимости ряда. 82. Сравнение положительных рядов. 83. Признаки Даламбера и Коши сходимости ряда. 84. Интегральный признак Коши сходимости рядов. 85. Критерий Коши сходимости положительных рядов. 86. Ряды и теорема Лейбница. 87. Признак типа Абеля-Дирихле сходимости рядов. 88. Закон ассоциативности для числовых рядов ( в обе стороны). 89. Закон коммутативности для абсолютно сходящихся числовых рядов. 90. Постоянная Эйлера. 91. Понятие о теореме Римана о перестановке членов числового ряда. Пример перестановки, меняющей сумму ряда. 92. Умножение абсолютно сходящихся числовых рядов. 93. Теорема Мертенса о произведении рядов по Коши.