16
правок
Изменения
Добавлены доказательства
===Формулы суммирования===
===1. Формула с биномиальными коэффициентами===
Числа Белла удовлетворяют рекуррентному соотношению c участием биномиальных коэффициентов s:
:<tex dpi = "150">B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k.</tex>
=== Доказательство ===
Докажем, что <tex dpi = "150">B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_{n-k}.</tex> По определению <tex dpi = "150">B_{n}\ { — }\ </tex>число всех неупорядоченных подмножеств <tex>n\ { — }\ </tex>элементного множества. Посчитаем количество неупорядоченных подмножеств для <tex dpi= "150">(n+1)\ { — }\ </tex>элементного множества множества: Пусть <tex dpi= "150">x_1 \cup... \cup x_k\ { — }\ </tex>подмножества множества <tex dpi = "150">1...n+1</tex>. Не нарушая общ-ти, пусть <tex dpi= "150">n+1\in x_k</tex>, тогда <tex dpi= "150">x_1 \cup... \cup x_{k-1}\ { — }\ </tex>подмножество множества <tex dpi="150">[1...n+1]</tex> \ <tex dpi= "150">x_k</tex>. Пусть <tex dpi= "150">|x_k|=i+1</tex>, где <tex dpi= "150">i\in [0;n]</tex>, тогда <tex dpi= "150">x_k</tex> можно выбрать <tex dpi= "150">\binom{n}{i}</tex> способами, а оставшиеся элементы разбить <tex dpi = "150">B_{n-i}</tex> способами. <tex dpi = "150">B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_{n-k}=</tex> <tex dpi = "150">\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{n-k} B_{k}=</tex> <tex dpi= "150">\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k</tex>
===2. Формула с числами Стирлинга второго рода===
Другая формула суммирования представляет каждое число Белла как сумму [[Числа Стирлинга второго рода|'''чисел Стирлинга второго рода''']]:
:<tex dpi = "150">B_n=\sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}</tex>,
где число Стирлинга <tex dpi = "150">\left\{{n\atop k}\right\}</tex> является количеством способов разбиения набора элементов <tex dpi = "150">n</tex> в ровно <tex dpi="150">k</tex> непустых подмножеств.
=== Доказательство ===
Посчитаем количество разбиений <tex dpi= "150">n\ { — }\ </tex>элементного множества. Нам нужно разбить <tex dpi= "150">n\ { — }\ </tex>элементное множество на <tex dpi= "150">k</tex> непустых подмножеств, где <tex dpi= "150">k</tex> от <tex dpi= "150">1</tex> до <tex dpi= "150">n</tex>. Пусть
<tex dpi= "150">C\ { — }\ </tex>все разбиения <tex dpi= "150">n\ { — }\ </tex>элементного множества. Пусть <tex dpi= "150">A_k\ { — }\ </tex>разбиение <tex dpi= "150">n\ { — }\ </tex>элементного множества на <tex dpi= "150">k</tex> непустых подмножеств, тогда <tex dpi = "150"> C = \bigcup \limits_{k=1}^{n}A_k</tex>. <tex dpi = "150">|A_k|=\left\{{n\atop k}\right\}\ { — }\ </tex>по определению, тогда <tex dpi = "150">B_n=|C|=\sum_{k=1}^{n} \ |A_k|=\sum_{k=1}^n \left\{{n\atop k}\right\}=\sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}</tex>, т.к. <tex dpi = "150">\left\{{n\atop 0}\right\}=0</tex>
===3. Формула объединяющая эти два суммирования===
Майкл Спайви<ref>Spivey, Michael Z. (2008). "A generalized recurrence for Bell numbers" . Journal of Integer Sequences. 11 (2): Article 08.2.5, 3. MR 2420912.</ref> получил формулу, которая объединяет оба эти суммирования:
:<tex dpi = "150">B_{n+m} = \sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^m \left\{{m\atop j}\right\} {n \choose k} j^{n-k} B_k.</tex>
=== Лемма ===
<tex dpi = "150">B_{n+m}\ { — }\ </tex>количество способов разбить <tex dpi = "150">(n+m)\ { — }\ </tex>элементное множество на подмножества. Количество способов разбить <tex dpi = "150">m\ { — }\ </tex>элементное множество на <tex dpi = "150">j</tex> непустых подмножеств это <tex dpi = "150">\left\{{m\atop j}\right\}</tex>, где <tex dpi = "150">j</tex> меняется от <tex dpi = "150">1</tex> до <tex dpi = "150">m</tex>. Из оставшихся <tex dpi = "150">n</tex> объектов выберем <tex dpi = "150">k</tex>, для разделения их на новые подмножества, а оставшиеся <tex dpi = "150">n-k</tex> объектов распределим между <tex dpi = "150">j</tex> подмножествами, сформированных из <tex dpi = "150">m\ { — }\ </tex>элементного множества. <tex dpi = "150">B_{k}\ { — }\ </tex>количество разбиений <tex dpi = "150">k\ { — }\ </tex>элементного множества на подмножества и <tex dpi = "150">j^{n-k}</tex> способов разбить <tex dpi = "150">n-k</tex> элементов между <tex dpi = "150">j</tex> подмножествами. Значит <tex dpi = "150">j^{n-k} \left\{{n\atop k}\right\}\binom{n}{k} B_{k}</tex> способов разбить <tex dpi = "150">m</tex> элементов на <tex dpi = "150">j</tex> подмножеств и выбрать <tex dpi = "150">k</tex> элементов из <tex dpi = "150">n\ { — }\ </tex>элементного множества и выбрать <tex dpi = "150">k</tex> элементов из <tex dpi = "150">n\ { — }\ </tex>элементного множества и сформировать из них новые подмножества, а из оставшихся <tex dpi = "150">n-k</tex> объектов разделить между <tex dpi = "150">j</tex> множествами, сформированных из <tex dpi = "150">m\ { — }\ </tex>элементного множества.
=== Доказательство ===
Суммирую разбиения, рассмотренные в лемме, меняя <tex dpi = "150">m</tex> и <tex dpi = "150">k</tex>, получаем:
<tex dpi = "150">B_{n+m}=\sum_{k=0}^n \sum_{j=1}^m </tex><tex dpi = "150">\left\{{m\atop j}\right\}j^{n-k} \binom{n}{k} B_{k}=</tex><tex dpi = "150">B_{n+m}=\sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^m </tex><tex dpi = "150">\left\{{m\atop j}\right\}j^{n-k} \binom{n}{k} B_{k}</tex> т.к. <tex dpi = "150">\left\{{m\atop 0}\right\}=0</tex>
===1. Формула с биномиальными коэффициентами===
Числа Белла удовлетворяют рекуррентному соотношению c участием биномиальных коэффициентов s:
:<tex dpi = "150">B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k.</tex>
=== Доказательство ===
Докажем, что <tex dpi = "150">B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_{n-k}.</tex> По определению <tex dpi = "150">B_{n}\ { — }\ </tex>число всех неупорядоченных подмножеств <tex>n\ { — }\ </tex>элементного множества. Посчитаем количество неупорядоченных подмножеств для <tex dpi= "150">(n+1)\ { — }\ </tex>элементного множества множества: Пусть <tex dpi= "150">x_1 \cup... \cup x_k\ { — }\ </tex>подмножества множества <tex dpi = "150">1...n+1</tex>. Не нарушая общ-ти, пусть <tex dpi= "150">n+1\in x_k</tex>, тогда <tex dpi= "150">x_1 \cup... \cup x_{k-1}\ { — }\ </tex>подмножество множества <tex dpi="150">[1...n+1]</tex> \ <tex dpi= "150">x_k</tex>. Пусть <tex dpi= "150">|x_k|=i+1</tex>, где <tex dpi= "150">i\in [0;n]</tex>, тогда <tex dpi= "150">x_k</tex> можно выбрать <tex dpi= "150">\binom{n}{i}</tex> способами, а оставшиеся элементы разбить <tex dpi = "150">B_{n-i}</tex> способами. <tex dpi = "150">B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_{n-k}=</tex> <tex dpi = "150">\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{n-k} B_{k}=</tex> <tex dpi= "150">\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k</tex>
===2. Формула с числами Стирлинга второго рода===
Другая формула суммирования представляет каждое число Белла как сумму [[Числа Стирлинга второго рода|'''чисел Стирлинга второго рода''']]:
:<tex dpi = "150">B_n=\sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}</tex>,
где число Стирлинга <tex dpi = "150">\left\{{n\atop k}\right\}</tex> является количеством способов разбиения набора элементов <tex dpi = "150">n</tex> в ровно <tex dpi="150">k</tex> непустых подмножеств.
=== Доказательство ===
Посчитаем количество разбиений <tex dpi= "150">n\ { — }\ </tex>элементного множества. Нам нужно разбить <tex dpi= "150">n\ { — }\ </tex>элементное множество на <tex dpi= "150">k</tex> непустых подмножеств, где <tex dpi= "150">k</tex> от <tex dpi= "150">1</tex> до <tex dpi= "150">n</tex>. Пусть
<tex dpi= "150">C\ { — }\ </tex>все разбиения <tex dpi= "150">n\ { — }\ </tex>элементного множества. Пусть <tex dpi= "150">A_k\ { — }\ </tex>разбиение <tex dpi= "150">n\ { — }\ </tex>элементного множества на <tex dpi= "150">k</tex> непустых подмножеств, тогда <tex dpi = "150"> C = \bigcup \limits_{k=1}^{n}A_k</tex>. <tex dpi = "150">|A_k|=\left\{{n\atop k}\right\}\ { — }\ </tex>по определению, тогда <tex dpi = "150">B_n=|C|=\sum_{k=1}^{n} \ |A_k|=\sum_{k=1}^n \left\{{n\atop k}\right\}=\sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}</tex>, т.к. <tex dpi = "150">\left\{{n\atop 0}\right\}=0</tex>
===3. Формула объединяющая эти два суммирования===
Майкл Спайви<ref>Spivey, Michael Z. (2008). "A generalized recurrence for Bell numbers" . Journal of Integer Sequences. 11 (2): Article 08.2.5, 3. MR 2420912.</ref> получил формулу, которая объединяет оба эти суммирования:
:<tex dpi = "150">B_{n+m} = \sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^m \left\{{m\atop j}\right\} {n \choose k} j^{n-k} B_k.</tex>
=== Лемма ===
<tex dpi = "150">B_{n+m}\ { — }\ </tex>количество способов разбить <tex dpi = "150">(n+m)\ { — }\ </tex>элементное множество на подмножества. Количество способов разбить <tex dpi = "150">m\ { — }\ </tex>элементное множество на <tex dpi = "150">j</tex> непустых подмножеств это <tex dpi = "150">\left\{{m\atop j}\right\}</tex>, где <tex dpi = "150">j</tex> меняется от <tex dpi = "150">1</tex> до <tex dpi = "150">m</tex>. Из оставшихся <tex dpi = "150">n</tex> объектов выберем <tex dpi = "150">k</tex>, для разделения их на новые подмножества, а оставшиеся <tex dpi = "150">n-k</tex> объектов распределим между <tex dpi = "150">j</tex> подмножествами, сформированных из <tex dpi = "150">m\ { — }\ </tex>элементного множества. <tex dpi = "150">B_{k}\ { — }\ </tex>количество разбиений <tex dpi = "150">k\ { — }\ </tex>элементного множества на подмножества и <tex dpi = "150">j^{n-k}</tex> способов разбить <tex dpi = "150">n-k</tex> элементов между <tex dpi = "150">j</tex> подмножествами. Значит <tex dpi = "150">j^{n-k} \left\{{n\atop k}\right\}\binom{n}{k} B_{k}</tex> способов разбить <tex dpi = "150">m</tex> элементов на <tex dpi = "150">j</tex> подмножеств и выбрать <tex dpi = "150">k</tex> элементов из <tex dpi = "150">n\ { — }\ </tex>элементного множества и выбрать <tex dpi = "150">k</tex> элементов из <tex dpi = "150">n\ { — }\ </tex>элементного множества и сформировать из них новые подмножества, а из оставшихся <tex dpi = "150">n-k</tex> объектов разделить между <tex dpi = "150">j</tex> множествами, сформированных из <tex dpi = "150">m\ { — }\ </tex>элементного множества.
=== Доказательство ===
Суммирую разбиения, рассмотренные в лемме, меняя <tex dpi = "150">m</tex> и <tex dpi = "150">k</tex>, получаем:
<tex dpi = "150">B_{n+m}=\sum_{k=0}^n \sum_{j=1}^m </tex><tex dpi = "150">\left\{{m\atop j}\right\}j^{n-k} \binom{n}{k} B_{k}=</tex><tex dpi = "150">B_{n+m}=\sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^m </tex><tex dpi = "150">\left\{{m\atop j}\right\}j^{n-k} \binom{n}{k} B_{k}</tex> т.к. <tex dpi = "150">\left\{{m\atop 0}\right\}=0</tex>
