Участник:Terraqottik

Определение:

Линейный код (англ. Linear code) — код фиксированной длины, исправляющий ошибки, для которого любая линейная комбинация кодовых слов также является кодовым словом.

Линейные коды обычно делят на блочные коды и свёрточные коды. Также можно рассматривать турбо-коды, как гибрид двух предыдущих.

По сравнению с другими кодами, линейные коды позволяют реализовывать более эффективные алгоритмы кодирования и декодирования информации (см. синдромы ошибок).

Формальное определение

Определение:

Линейный код длины n и ранга k является линейным подпространством C размерности k векторного пространства [math]\mathbb{F}_q^n[/math], где [math]\mathbb{F}_q[/math] — конечное поле (поле Галуа) из q элементов. Такой код с параметром q называется q-арным кодом (напр. если q = 5 — то это 5-арный код). Если q = 2 или q = 3, то код представляет собой двоичный код, или тернарный соответственно.

Векторы в C называют кодовыми словами. Размер кода — это количество кодовых слов, т.е. [math]\mathbb{q}^k[/math].

Весом кодового слова называют число его ненулевых элементов. Расстояние между двумя кодовыми словами — это расстояние Хэмминга. Расстояние d линейного кода — это минимальный вес его ненулевых кодовых слов или равным образом минимальное расстояние между всеми парами различных кодовых слов. Линейный код длины n, ранга k и расстоянием d называют [n,k,d] кодом (англ. [n,k,d] code).

Источники информации

• wikipedia.org — Линейный код
• wikipedia.org — Linear code
• Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. — М: Связь, 1979. — 744 с., стр. 12-33
• Ф.И. Соловьева — Введение в теорию кодирования
• В. А. Липницкий, Н. В. Чесалин — Линейные коды и кодовые последовательности: учеб.-метод. пособие для студентов мех.-мат. фак. БГУ. Минск: БГУ, 2008. — 41 с.