Изменения

{{ОпределениеРассмотрим неориентированный невзвешенный [[Основные определения теории графов|definition= Соцветие граф]] <tex>BG =\langle V, E \rangle </tex> графа , где <tex>G=(V,E)</tex> {{-- цикл-}} множество [[Основные определения теории графов| вершин]], состоящий из <tex>2k + 1E </tex> ребер. {{---}}множество [[Основные определения теории графов|рёбер]]. Требуется найти в нём максимальное паросочетание.{{ОпределениеПриведём пример, на котором [[Алгоритм Куна для поиска максимального паросочетания|definitionалгоритм Куна]] работать не будет. Рассмотрим граф <tex>G</tex> с множеством вершин <tex>V= Cжатие соцветия {1,2,3,4} </tex>, и множеством рёбер {{- граф --}}<tex>G'E={\langle 1,2 \rangle, \langle 2, 3 \rangle, \langle 3, 1 \rangle, \langle 2, 4 \rangle}</tex>и пусть ребро <tex>\langle 2, полученный 3\rangle</tex> взято в паросочетание. Тогда при запуске из вершины <tex>G1</tex> сжатием всего нечётного цикла , если обход пойдёт сначала в одну псевдо-вершину (соответственно<tex>2</tex>, все рёбрато он зайдёт в тупик в вершине <tex>3</tex>, инцидентные вершинам этого цикла, становятся инцидентными псевдовместо того чтобы найти увеличивающую цепь <tex>1-3-2-вершине)4</tex>.}}{{Определение|definition= База соцветия - вершина соцветияКак видно на этом примере, основная проблема заключается в том, что при попадании в цикл нечётной длины, обход может пойти по циклу в которую входит ребро не из данного соцветиянеправильном направлении.}}

Пусть даны граф <tex>G</tex>, паросочетание <tex>M</tex> в графе <tex>G</tex> существует соцветие и цикл <tex>Z</tex> длины <tex>2k+1</tex>, содержащий <tex>k</tex> рёбер паросочетания <tex>M</tex> и вершинно непересекающийся с остальными рёбрами из <tex>BM</tex>.Построим новый граф <tex>G'<br /tex> из графа <tex>G</tex>, сжимая цикл <tex>Z</tex>до единичной вершины, при этом все ребра, инцидентные вершинам этого цикла, становятся инцидентными вершине в новом графе. Тогда паросочетание <tex>M -E(Z)</tex>, где <tex>E(z)</tex> {{---}} ребра, инцидентные циклу, является наибольшим в <tex>G'</tex> существует удлиняющий путь тогда и только тогда, когда существует удлиняющий путь М {{---}} наибольшее паросочетание в <tex>G\setminus B</tex>

Пусть граф Предположим, что <tex>M</tex> не является наибольшим паросочетанием в <tex>G'</tex> - граф, полученный тогда в силу [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих_цепях|теоремы о максимальном паросочетании и дополняющих цепях]] существует увеличивающая относительно <tex>M</tex> цепь <tex>P</tex>. Если <tex>P</tex> не пересекается с <tex>GZ</tex> сжатием соцветия , то цепь является увеличивающей относительно <tex>BM'</tex> и в псевдо-вершину графе <tex>G'</tex>, а значит, <tex>BM'</tex>не может быть наибольшим паросочетанием.Поэтому предположим, что цепь <tex>P</tex> пересекается с <tex>Z<br /tex>. Заметим, что достаточно рассматривать случайхотя бы одна концевая вершина цепи <tex>P</tex> не лежит на <tex>Z</tex>, когда база соцветия является свободной вершиной (не принадлежащей паросочетанию)обозначим её через <tex>u</tex>. В противном случае в базе соцветия оканчивается чередующийся путь чётной длиныТогда пройдём по цепи <tex>P</tex>, начиная с <tex>u</tex> до первой встречной вершины на <tex>Z</tex>, начинающийся в свободной вершинеобозначим её через <tex>v</tex>. Прочередовав паросочетание вдоль этого путиТогда, при сжатии цикла <tex>Z</tex>, участок <tex>P[u, мощность паросочетания v]</tex> отобразится на увеличивающую цепь относительно <tex>M'</tex>, то есть <tex>M'</tex> не изменитсяявляется максимальным паросочетанием, а база соцветия станет свободной вершинойчто противоречит нашему предположению.

Теперь допустим, что <tex>\RightarrowM'</tex>не является наибольшим паросочетанием в графе <tex>G'</tex>. Обозначим через <tex>N'</tex> паросочетание в <tex>G'</tex>, мощности большей, чем <tex>M'</tex>. Восстановим граф <tex>G</tex>, тогда <tex>N'</tex> будет соответствовать некоторому паросочетанию в <tex>G</tex>, покрывающему не более одной вершины в <tex>Z</tex>. Следовательно паросочетание <tex>N'</tex> можно увеличить, используя <tex>k</tex> рёбер цикла <tex>Z</tex>, и получить паросочетание <tex>N</tex>, размера <tex>|N| = |N'|+k > |M'|+k = |M|</tex>, то есть <tex>M</tex> не является наибольшим паросочетанием в <tex>G</tex>, приходим к противоречию. Таким образом теорема доказана.}}

Пусть путь <tex>P</tex> является удлиняющим в графе <tex>G</tex>Для простоты описания алгоритма введём некоторые определения. Если <tex>P</tex> не проходит через <tex>B</tex>, то тогда он будет удлиняющим и в графе <tex>G{{Определение|definition= Будем называть '''соцветием'''</tex>. <br />Пусть проходит через <tex>B</tex>. Тогда что путь P представляет собой некоторый путь <tex>P_1</tex>, не проходящий по вершинам <tex>B</tex>, плюс некоторый путь <tex>P_2</tex>, проходящий по вершинам <tex>B</tex> и, возможно, другим вершинам. Но тогда путь <tex>P_1 + B'</tex> будет являться удлиняющим путём в графе графа <tex>G'</tex>, что и требовалось доказатьего цикл нечётной длины.

'''Cжатием соцветия''' назовём граф <tex>\LeftarrowG'</tex>, полученный из <tex>G</tex> сжатием всего нечётного цикла в одну псевдо-вершину. Все рёбра, инцидентные вершинам этого цикла, становятся инцидентными псевдо-вершине в новом графе.

Пусть путь <tex>P</tex> является удлиняющим путём в графе <tex>G'</tex>. Если <tex>P</tex> не проходит через <tex>B'</tex>'База соцветия''' - вершина соцветия, то тогда он будет удлиняющим и в графе <tex>G</tex>которую входит ребро не из данного соцветия. <br />}}

Рассмотрим отдельно случай, когда <tex>P</tex> начинается со сжатого соцветия <tex>B'</tex>, т[[Файл:blossom1.еjpg|300px|Рис. имеет вид <tex>(B', c, ...)</tex>. Тогда в соцветии <tex>B</tex> найдётся соответствующая вершина <tex>v</tex>, которая связана ребром с <tex>c</tex>. Заметим, что из базы соцветия всегда найдётся чередующийся путь чётной длины до вершины <tex>v</tex>. Учитывая всё вышесказанное, получаем, что путь <tex>P_1(b,...v,...c,..)</tex> является увеличивающим путём в графе <tex>G</tex>.1]]Пусть теперь путь <tex>P</tex> проходит через псевдо-вершину <tex>B'</tex>, но не начинается и не заканчивается в ней. Тогда в <tex>P</tex> есть два ребра, проходящих через <tex>B'</tex>, пусть это <tex>(a,B')</tex> и <tex>(B',c)</tex>. Одно из них обязательно должно принадлежать паросочетанию, однако, так как база цветка не насыщена, а все остальные вершины цикла цветка насыщены рёбрами цикла, то мы приходим к противоречию (это эквивалентно [[Связь максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графахФайл:blossom2.jpg|300px|случаю отсутствия ребра из <tex>R_-</tex> в <tex>L_+</tex>Рис. 2]]). Таким образом, этот случай просто невозможен. Теорема доказана.}}

Пусть дан произвольный граф Основную сложность представляют операции сжатия и восстановления цветков. Чтобы эффективно это делать, для каждой вершины необходимо хранить указатель на базу цветка, которому она принадлежит, или на себя в противном случае. Предположим, что для поиска паросочетаний в сжатом графе, мы используем обход в ширину. Тогда на каждой итерации алгоритма будет строиться дерево обхода в ширину, причём путь в нём до любой вершины будет являться чередующимся путём, начинающимся с корня этого дерева. Будем класть в очередь только те вершины, расстояние от корня до которых в дереве путей чётно. Также для каждой вершины, расстояние до которой нечётно, в массиве предков <tex>Gp[]</tex> необходимо хранить её предка {{---}} чётную вершину. Заметим, что если в процессе обхода в ширину мы из текущей вершины <tex>v</tex> приходим в такую вершину <tex>u</tex>, что она является корнем или принадлежит паросочетанию и дереву путей, то обе эти вершины принадлежат некоторому цветку. Действительно, при выполнении этих условий эти вершины являются чётными вершинами, следовательно расстояние от них до их наименьшего общего предка имеет одну чётность. Найдём наименьшего общего предка <tex>lca(Vu, Ev)</tex> и требуется найти максимальное паросочетание вершин <tex>u</tex>, <tex>v</tex>, который является базой цветка. Для нахождения самого цикла необходимо пройтись от вершин <tex>u</tex>, <tex>v</tex> до базы цветка. В явном виде цветок сжимать не будем, просто положим в очередь обхода в нёмширину все вершины, принадлежащие цветку. Также для всех чётных вершин (за исключением базы) назначим предком соседнюю вершину в цикле, а для вершин <tex>u</tex> и <tex>v<br/tex>[[Файл:blossom1назначим предками друг друга.jpg|thumb|right|РисЭто позволит корректно восстановить цветок в случае, когда при восстановлении увеличивающего пути мы зайдем в нечётную вершину цикла. 1]]

===Общая идея=== [[Файл:blossom2.jpg|thumb|right|Рис. 2]]#Сжимаем все соцветия#Находим паросочетания в полученном графе поиском в глубину/ширину.#Разжимаем соцветия, восстанавливая паросочетание. ===Пошаговое представление===  Алгоритм строит лес(используя поиск в глубину или ширину), содержащий деревья удлиняющих путей, корнями которых являются вершины не из паросочетания. Разобьем каждое неориентированное ребро Всего имеется <tex>(w, v)V</tex> итераций, на два ориентированных ребра <tex>(w, v)</tex> и <tex>(v, w)</tex>. Каждое ребро может принимать одно из трех состояний: непосещенное, четное и нечетное.Для каждой вершины из паросочетания <tex>v</tex> которых выполняется обход в ширину за <tex>mateO(v)</tex> будем хранить вершину, смежную <tex>v</tex>.Также для каждой вершины <tex>v</tex> алгоритм в <tex>p(vE)</tex> будет хранить родителя в дереве обхода. Сначала пометим все вершины, включенные в паросочетаниекроме того, непосещенными, все остальные - четными. Пока существует удлиняющий путь или пока есть непроверенное ребро из четной вершины <tex>v</tex>:#Выберем любое непроверенное ребромогут происходить операции сжатия цветков — их может быть <tex>O(v, wV)</tex> из четной вершины <tex>v</tex> и проверяем:#*Вершина <tex>w</tex> нечетное - ничего не делаем. Такая ситуация возникает, когда Сжатие соцветий работает за <tex>O(v, wV)</tex> ребро из паросочетания или не из паросочетания#*Вершина <tex>w</tex> включено в паросочетание и непосещенное. Тогда помечаем <tex>w</tex> нечетным, а то есть общая асимптотика алгоритма составит <tex>mateO(w)</tex> четным. Присваиваем <tex>pV(w) \gets v</tex>, а также <tex>p(mate(w)) \gets w</tex>#*<tex>w</tex> четное; вершины <tex>w, v</tex> лежат в разных деревьях - нашли удлиняющий путь от корня дерева, содержащего вершину <tex>v</tex> до корня дерева, содержащего вершину <tex>w</tex>.#*<tex>w</tex> четное; вершины <tex>w, v</tex> лежат в одном дереве - нашли соцветие. Пусть <tex>u</tex> - наименьший общий предок вершин <tex>v</tex> и <tex>w</tex>. Сожмем соцветие в псевдо-вершину <tex>b</tex>, <tex>p(b) \gets p(u)</tex>, а также для каждой вершины <tex>x</tex> в соцветии определим <tex>p(x) \gets b</tex> ===Псевдокод=== '''Edmonds''' { '''for''' <tex>u \in E + V</tex>''' if (вершина u не в паросочетании^2)''' { '''int''' '''last_v''' = '''find_augment_path''' (u); '''if (last_v != -1)''' '''выполнить чередование вдоль пути из u в last_v;''' } } int find_augment_path O(root) { обход в ширину: v = текущая_вершина; for <tex>(v,wV^3) \in E</tex> если обнаружили цикл нечётной длины, сжать его если пришли в свободную вершину, return если пришли в несвободную вершину, то добавить в очередь смежную ей в паросочетании return -1; } == Оценка сложности ==.

Всего имеется <tex>V</tex> итераций==Литература==*''Ловас, на каждой из которых выполняется обход Пламмер'' '''Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в ширину за <tex>O(E)<математике и физике'''*[http:/tex>, кроме того, могут происходить операции сжатия цветков — их может быть <tex>O(V)</tex>e-maxx. Если уметь сжимать соцветие за <tex>O(V)<ru/tex>, то общая асимптотика алгоритма составит <tex>O(V(E + V^2)) = O(V^3)<algo/tex>.matching_edmonds Алгоритм Эдмондса нахождения наибольшего паросочетания в произвольных графах]

===Литература===[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]*''R. Tarjan'' '''Data Structures and Network Algorithms''' -ISBN 0898711878*[http[Категория://e-maxx.ru/algo/matching_edmonds Алгоритм Алгоритм Эдмондса нахождения наибольшего паросочетания в произвольных графахЗадача о паросочетании]]