Изменения
Нет описания правки
== Определения ==
{{Определение
|definition=
Если А и В {{---}} произвольные множества, и между ними можно установить биекцию, что то они '''равномощны''': <tex> |A| = |B| </tex>
}}
{{Определение|definition=[[Множества|Множество]] называется ''конечным'', если его элементы можно пересчитать, иначе его оно называется ''бесконечным''.}}
{{Определение
}}
<tex> A = \{a_1, a_2, ... \dots , a_n \dots \} </tex> {{---}} счетное множество.
Мощность счетных множеств минимальна по сравнению с другими бесконечными множествами.
== Мощность Q ==
{{Утверждение
<tex> a_2 \in A_1 \Rightarrow A_1 \backslash \{ a_2 \} = A_2 </tex> {{---}} также бесконечное множество.
Продолжаем этот процесс далее, пока не останется до бесконечности. Тогда мы получим <tex> B = \{a_1, a_2, \dots , a_n \dots \} \subset A </tex> {{---}} счетное множество. {{TODO|t=(ЩИТО? У кого есть что-нибудь адекватное насчет этого, исправьте, пожалуйста.)}}
}}
Если <tex> \{ a_1, a_2, ... , a_n, ... \} </tex> {{---}} совокупность попарно различных элементов, то это {{---}} счетное множество.
Для счетных множеств часто применяется следующий важный факт:
{{Утверждение
|statement=
Таким образом мы установили биекцию между <tex>\mathbb N </tex> и <tex>\ \bigcup\limits_n A_n </tex>, то есть <tex>\ \ | \bigcup\limits_n A_n | = |\mathbb N| </tex> , что и требовалось доказать.
}}
В частности, множество рациональных чисел <tex> \mathbb Q </tex> {{---}} счетно.
== Континуум ==
{{Определение
|definition=
Множество <tex> Множество I = [0, 1] </tex> называется ''континииумомконтинуумом''.
}}
Будем доказывать от противного. Применим принцип вложенных отрезков:
Пусть <tex> I = \{ x_1, x_2, ... , x_n , ... \} </tex>
Разделим I на 3 части и назовем <tex> \Delta_1 : x_1 \notin \Delta_1 </tex>. Такой отрезок всегда существует.
Если <tex> |A| = |I| </tex>, то обычно говорят, что А ''обладает мощностью континиума'':
== Мощность R ==
{{Утверждение
Определим множество <tex> B = A \cup \{ 0, 1 \} </tex>. Множество <tex> B </tex> также счетное.
Между счетными множествами можно установить биекцию: <tex> B \leftrightarrow A \Rightarrow (0, 1) \backslash A = \leftrightarrow [0, 1] \backslash B \Rightarrow (0, 1) = \leftrightarrow [0, 1] \Rightarrow |(0, 1)| = |[0, 1]| </tex>
В итоге получили, что <tex> |\mathbb R| = |[0, 1]| </tex>
}}
Так как <tex> \mathbb Q </tex> {{---}} счетно. <tex> |\mathbb R \backslash \mathbb Q| = |I| \Rightarrow </tex> иррациональных чисел по мощности континииум. [[Категория:Математический анализ 1 курс]]
