Теорема Дирака — различия между версиями
(бред написан какой-то) |
|||
(не показано 17 промежуточных версий 7 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | ==Лемма о длине цикла== | ||
{{Лемма | {{Лемма | ||
|about=о длине цикла | |about=о длине цикла | ||
− | |statement= Пусть <tex>G</tex> - произвольный неориентированный граф и <tex>\delta</tex> - минимальная степень его вершин. Если <tex>\delta \ | + | |statement= Пусть <tex>G</tex> {{---}} произвольный [[Основные определения теории графов#def_undirected_graph_1|неориентированный граф]] и <tex>\delta</tex> {{---}} минимальная [[Основные определения теории графов#def_graph_degree_1|степень]] его вершин. Если <tex>\delta \geqslant 2</tex>, то в графе <tex>G</tex> существует [[Основные определения теории графов#def_graph_cycle_1|цикл]] <tex>C</tex> длиной <tex>l \geqslant \delta + 1</tex>. |
|proof= | |proof= | ||
− | Рассмотрим путь максимальной длины <tex>P = v_0 v_1 | + | Рассмотрим путь максимальной длины <tex>P = v_0 v_1 \dots v_s</tex>. Все смежные с <tex>v_0</tex> вершины лежат на <tex>P</tex>. Обозначим <tex>k = \max \{i: v_0 v_i \in E\} </tex>. Тогда <tex>\delta \leqslant \deg v_0 \leqslant k</tex>. Цикл <tex>C = v_0 v_1 \dots v_k v_0</tex> имеет длину <tex>l = k + 1 \geqslant \delta + 1</tex> |
}} | }} | ||
+ | |||
+ | ==Альтернативное доказательство== | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
− | |about=Дирак | + | |about=Дирак {{---}} альтернативное доказательство |
|statement= | |statement= | ||
− | Пусть <tex>G</tex> - неориентированный граф и <tex>\delta</tex> - минимальная степень его вершин. Если <tex>n \ | + | Пусть <tex>G</tex> {{---}} неориентированный граф и <tex>\delta</tex> {{---}} минимальная степень его вершин. Если <tex>n \geqslant 3</tex> и <tex>\delta \geqslant n/2</tex>, то <tex>G</tex> {{---}} [[Гамильтоновы графы|гамильтонов граф]]. |
|proof= | |proof= | ||
− | + | Для <tex>\forall k</tex> верна импликация <tex>d_k \leqslant k < n/2 \Rightarrow d_{n-k} \geqslant n-k</tex>, поскольку левая её часть всегда ложна. Тогда по [[Теорема Хватала | теореме Хватала]] <tex>G</tex> {{---}} гамильтонов граф. | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
}} | }} | ||
− | + | {{Теорема | |
+ | |about = Вывод из [[Теорема Оре|теоремы Оре]] | ||
+ | |statement = | ||
+ | Пусть <tex>G</tex> {{---}} неориентированный граф и <tex>\delta</tex> {{---}} минимальная степень его вершин. Если <tex>n \geqslant 3</tex> и <tex>\delta \geqslant n/2</tex>, то <tex>G</tex> {{---}} [[Гамильтоновы графы|гамильтонов граф]]. | ||
+ | |proof = | ||
+ | Возьмем любые неравные вершины <tex> u, v \in G </tex>. Тогда <tex> \displaystyle \deg u + \deg v \geqslant \frac n 2 + \frac n 2 = n </tex>. По теореме Оре <tex> G </tex> {{---}} гамильтонов граф. | ||
+ | }} | ||
+ | |||
+ | ==См. также== | ||
+ | * [[Гамильтоновы графы]] | ||
+ | * [[Теорема Хватала]] | ||
+ | * [[Теорема Оре]] | ||
+ | * [[Теорема Поша]] | ||
+ | |||
+ | == Источники информации == | ||
+ | * [[wikipedia:en:Dirac's_Theorem|Wikipedia {{---}} Dirac's Theorem]] | ||
+ | * Graham, R.L., Groetschel M., and Lovász L., eds. (1996). ''Handbook of Combinatorics'', Volumes 1 and 2. Elsevier (North-Holland), Amsterdam, and MIT Press, Cambridge, Mass. ISBN 0-262-07169-X. | ||
− | |||
− | |||
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]] | [[Категория: Алгоритмы и структуры данных]] | ||
[[Категория: Обходы графов]] | [[Категория: Обходы графов]] | ||
+ | [[Категория: Гамильтоновы графы]] |
Версия 01:43, 15 апреля 2021
Лемма о длине цикла
Лемма (о длине цикла): |
Пусть неориентированный граф и — минимальная степень его вершин. Если , то в графе существует цикл длиной . — произвольный |
Доказательство: |
Рассмотрим путь максимальной длины | . Все смежные с вершины лежат на . Обозначим . Тогда . Цикл имеет длину
Альтернативное доказательство
Теорема (Дирак — альтернативное доказательство): |
Пусть гамильтонов граф. — неориентированный граф и — минимальная степень его вершин. Если и , то — |
Доказательство: |
Для теореме Хватала — гамильтонов граф. | верна импликация , поскольку левая её часть всегда ложна. Тогда по
Теорема (Вывод из теоремы Оре): |
Пусть гамильтонов граф. — неориентированный граф и — минимальная степень его вершин. Если и , то — |
Доказательство: |
Возьмем любые неравные вершины | . Тогда . По теореме Оре — гамильтонов граф.
См. также
Источники информации
- Wikipedia — Dirac's Theorem
- Graham, R.L., Groetschel M., and Lovász L., eds. (1996). Handbook of Combinatorics, Volumes 1 and 2. Elsevier (North-Holland), Amsterdam, and MIT Press, Cambridge, Mass. ISBN 0-262-07169-X.