Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра

Эта статья находится в разработке!

<wikitex> Пусть $ z = f(x, y), \quad x \ge a, y \in [c; d] $.

Считаем, что f непрерывна в этой полосе.

$ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx $ - является несобственным интегралом, зависящим от параметра y.

Если считать, что для некоторого $ y_0 \in [c; d] $, $ \int\limits_a^{\infty} f(x, y_0) dx $ - сходится, то $ \int\limits_A^{\infty} f(x, y_0) dx \xrightarrow[A \to + \infty]{} 0 $, или $ \forall \varepsilon > 0 \exists A_0(y_0): \forall A > A_0(y_0) \Rightarrow |\int\limits_A^{\infty} f(x, y_0) dx | < \varepsilon $

Для исключения зависимости $ A_0 $ от $ y_0 $, вводится понятие для равномерной сходимости.

$ \forall \varepsilon > 0 : \exists A_0 : \forall A > A_0 , \forall y_0 \in [c; d] \Rightarrow | \int\limits_A^{\infty} f(x, y_0) dx | < \varepsilon $.

Прослеживается аналогия с функциональными рядами:

$ \forall \varepsilon > 0 : \exists N : \forall n > N , \forall x \in E : | \sum\limits_{m = n}^{\infty} f_m(x) | < \varepsilon $

Сопоставляем два определения, видим $ m \leftrightarrow x $, $ x \leftrightarrow y $. Аналогия важна в том смысле, что доказательство свойств интеграла копирует доказательство соответствующих свойств функциональных рядов.

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственных интегралов

Теорема (Вейерштрасс, Признак равномерной сходимости несобственных интегралов):

Пусть $

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

$ B > A: \left

[math]\triangleleft[/math]

Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра

Базируясь на условии равномерной сходимости, докажем те же три свойства, что и для определенных интегралов. Считаем далее, что интеграл равномерно сходится на $ [c; d] $.

Непрерывность

$ F(y) = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \stackrel{?}{\Rightarrow} (F(y + \Delta{y}) - F(y)) \xrightarrow[\Delta y \to 0]{} 0 $ (доказываем непрерывность F(y)).

Доказательство ведем по аналогии с рядами.

В силу равномерной сходимости:

$ \forall \varepsilon > 0: \exists A_0: \forall A \ge A_0: \left| \int\limits_A^{\infty} f(x, y) dx \right| < \varepsilon, \forall y \in [c; d] $. $A = A_0$ - частный случай.

$ | F(y + \Delta y) - F(y) | = \left| \int\limits_a^{\infty} f(x, y + \Delta y) dx - \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \right| $

По аддитивности интеграла:

$ |F(y + \Delta y) - F(y)| \le \\ \le \left| \int\limits_a^{A_0} f(x, y + \Delta y) dx - \int\limits_a^{A_0} f(x, y) dx \right| + \left| \int\limits_{A_0}^{\infty} f(x, y + \Delta y) dx \right| + \left| \int\limits_{A_0}^{\infty} f(x, y) dx \right| $ - последние два слагаемых $ \le \varepsilon $ по выбору $ A_0 $.

$ |\Delta F(y) | \le \left| \int\limits_a^{A_0} f(x, y + \Delta y) dx - \int\limits_a^{A_0} f(x, y) dx \right| + 2 \varepsilon $.

$ \int\limits_a^{A_0} f(x, y) dx $ - определенный интеграл, зависящий от параметра - его величина неперывно зависит от $ y $.

Для нашего $ \varepsilon: \exists \delta > 0: | \Delta y | < \delta $, следовательно, $ \left| \int\limits_a^{A_0} f(x, y + \Delta y) dx - \int\limits_a^{A_0} f(x, y) dx \right| $ окажется меньше $ \varepsilon $ по непрерывности.

$ | \Delta y | < \delta \Rightarrow | \Delta F(y) | < 3 \varepsilon $, что и требовалось доказать.

Повторное интегрирование.

Установим формулу повторного интегрирования . Логика действия другая, из-за рассмотрения несобственных интегралов.

Надо установить формулу:

$ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx = \int\limits_a^{\infty} dx \int\limits_c^d f(x,y) dy $

В условиях непрерывности f на полосе и равномерной сходимости интегралов при $ A > a $, верна формула $ \int\limits_a^A dx \int\limits_c^d f(x, y) dy = \int\limits_c^d dy \int\limits_a^A f(x, y) dx $.

В силу предыдущего параграфа:

$ \int\limits_c^d dy \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx = \int\limits_c^d dy \left( \int\limits_a^A f(x, y) dx + \int\limits_A^{\infty} f(x, y) dx \right) = \\ = \int\limits_c^d dy \int\limits_a^A f(x, y) dx + \int\limits_c^d dy \int\limits_A^{\infty} f(x, y) dx = \\ = \int\limits_a^A dx \int\limits_c^d f(x, y) dy + \int\limits_c^d dy \int\limits_A^{\infty} f(x, y) dx = $

Отметим, что интегралы существуют по пункту 1 (непрерывность F по y).

$ \forall \varepsilon > 0 $, по равномерной сходимости $ \exists A_0 : \forall A > A_0, \forall y \in [c; d]: \left| \int\limits_A^{\infty} f(x, y) dx \right|\le \varepsilon $

Значит, $ \left| \int\limits_c^d dy \int\limits_A^{\infty} f(x, y) dy \right| \le \int\limits_c^d \varepsilon dy = (d - c) \varepsilon $, то есть сколь угодно мал.

$ \left| \int\limits_c^d dy \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx - \int\limits_a^A dx \int\limits_c^d f(x, y) dy \right| \le (d - c) \varepsilon \quad \forall A \ge A_0 $

В силу произвольности $ \varepsilon $:

$ \int\limits_a^A dx \int\limits_c^d f(x, y) dy \xrightarrow[A \to \infty]{} \int\limits_c^d dy \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx $.

По определению несобственного интеграла, формула верна.

Замечание: можно поставить вопрос:

$ \int\limits_a^{\infty} dy \int\limits_c^{\infty} f(x, y) dx = \int\limits_c^{\infty} dx \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dy $ - решается, как правило, намного труднее.

В ряде частных случаев, ответ будет положительным.

Если $ f(x, y) $ - непрерывна, $ x \ge a, y \ge c $, считаем, что $ f(x, y) \ge 0 $, то можно утверждать, что это действительно выполняется(упражнение средней сложности).

В теории интеграла Лебега будет доказана знаменитая теорема Фубини, полностью решающая этот вопрос, но уже на языке интеграла Лебега.

Формула Лейбница

Предположим непрерывность $ \frac{\partial f}{\partial y} $.

$ \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $ - равномерно сходится, $ \int\limits_a^{\infty} f(x, c) dx $ - сходится.

Тогда: $ \left( \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \right)' = \left( \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx \right) $ - это и есть формула Лейбница, которую мы хотим доказать.

Доказываем по аналогии с функциональными рядами.

$ g(y) = \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $ - непрерывна в силу равномерной сходимости интеграла.

Значит, ее можно интегрировать.

$ \int\limits_c^y g(t) dt = \int\limits_c^y dt \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, t) dx $.

По предыдущему пункту, меняем порядок интегрирования.

$ \int\limits_c^y g(t) dt = \int\limits_a^{\infty} dx \int\limits_c^y \frac{\partial f}{\partial y} (x, t) dt $

$ \int\limits_c^y \frac{\partial f}{\partial y} (x, t) dt = f(x, y) - f(x, c) $ - по формуле Ньютона - Лейбница.

$ \int\limits_c^y g(t) dt = \int\limits_a^{\infty} (f(x, y) - f(x, c)) dx $

Интеграл для c - сходящийся, интеграл от разности - сходящийся, поэтому: $ \int\limits_c^y g(t) dt = \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx - \int\limits_a^{\infty} f(x, c) dx $

Интеграл слева по теореме Барроу дифференциируем по верхнему пределу - продифференциируем обе части по y.

$ g(y) = \left( \int\limits_c^{y} g(t) dt \right)' = \left( \int\limits_a^{\infty} f(x, y) dx \right)' $, но $ g(y) = \int\limits_a^{\infty} \frac{\partial f}{\partial y} (x, y) dx $, следовательно, формула доказана.

Бета- и Гамма-функции Эйлера

На базе этой достаточно элементарной теории можно определить и исследовать две важных функции в анализе - $B$ и $\Gamma$ - функции Эйлера.

Полагаем:

$ B (a, b) = \int\limits_0^1 x^{a - 1} (1 - x)^{b - 1} dx $

$ \Gamma (a) = \int\limits_0^{\infty} x^{a - 1} e^{-x} dx $

В обоих случаях: интегралы, зависящие от параметра.

Легко понять, что $ B (a, b) $ Сходится при $ a, b > 0 $; $ \Gamma(a) $ сходится при $ a > 0 $.

Гамма-функция

Гамма-функция связана с обобщением факториала на $ \mathbb{R} $.

Поставим задачу: продолжить $ f(n) = n! $ на $ \mathbb{R}_+ $ так, чтобы $ f \in \mathbb{C}^{\infty} (\mathbb{R}_+) $(бесконечно дифференцируема) и $ f(n) = n! $.

Эта задача решается Гамма-функцией.

Легко убедиться, что $ \Gamma(n + 1) = n! $:

$ \Gamma (n + 1) = \int\limits_0^{\infty} x^n e^{-x} = - \int\limits_0^{\infty} x^n d(e^{-x}) = \\ = -x^n e^{-x} |_0^{\infty} + n \int\limits_0^{\infty} x^{n - 1} e^{-x} = n \Gamma(n) = \dots = n! \Gamma(1) $

$ \Gamma(1) = \int\limits_0^{\infty} e^{-x} dx = 1 $

Что касается $ f \in \mathbb{C}^{\infty}(\mathbb{R}_+) $, применяем развитую нами теорию.

$ \Gamma'(a) = \int_0^{\infty} \frac{\partial}{\partial a} (x^{a - 1} e^{-x}) dx = \int_0^{\infty} \ln x x^{a-1} e^{-x} dx $

Требуется проверить равномерную сходимость интеграла от частной производной.

Ввиду локальности дифференцирования, можно проверить равномерную сходимость в малом отрезке $ [a - \Delta; a + \Delta] $, с помощью признака Вейерштрасса(также проверить отдельно в 0 и в $ \infty $). TODO: Проделать в качестве упражнения.

Аналогично, при двойном дифференцировании получаются равномерно сходящиеся интегралы и т.д.

$ \Gamma(a) = \int\limits_0^{\infty} \underbrace{\ln^2 x x^{a - 1} e^{-x}}_{>0} dx \Rightarrow \Gamma(a) > 0 $

$ \Gamma $ - выпукла вниз, $ \Gamma' $ растет.

При этом, $ \Gamma(1) = 1, \Gamma(2) = 1 $. По теореме Ролля, для $ c \in (1; 2), \ \Gamma'(c) = 0 $. Но $ f' $ растет, следовательно, такая точка будет только одна, и в точке $ c $ будет минимум.

Очевидно, что $ \Gamma(a) \xrightarrow[a \to + 0] {} {+ \infty }$, $ \Gamma(a) \xrightarrow[a \to + \infty] {} {+ \infty} $.

Можно писать аналогичные формулы, приведенные для Бета-функции, а также связь бета- и гамма-функции с помощью формулы Эйлера:

$ B(a, b) = \frac{\Gamma(a) \Gamma(b)}{\Gamma(a + b_)} $ - Фихтенгольц, том 2.

</wikitex>