81
правка
Изменения
м
}}
{{Теорема
|statement = <tex>\Pi_{i} \subset \Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}</tex>.
|proof = Пусть <tex>L \in \Pi_{i} \Rightarrow \exists R : x \in L \Leftrightarrow \forall y_{1} \cdots Q y_{i} : R(x,y_{1},\cdots,y_{i}), \forall j |y_{j}| \le poly(|x|)</tex>.<br/>
Проверим, что <tex>L \in \Pi_{i+1} \Leftrightarrow \exists R' : x \in L \Leftrightarrow \forall y_{1} \cdots Q y_{i} \bar{Q} y_{i+1} : R'(x,y_{1},\cdots,y_{i},y_{i+1})</tex>.
<br/>
<tex>R'(x,y_{1},\cdots,y_{i+1})</tex> {
return <tex>R(x,y_{1},\cdots,y_{i})</tex>;
}
Проверим, что <tex>L \in \Sigma_{i+1} \Leftrightarrow \exists R'' : x \in L \Leftrightarrow \exists y_{0} \forall y_{1} \cdots Q y_{i} : R''(x,y_{0},y_{1},\cdots,y_{i})</tex>.
<br/>
<tex>R''(x,y_{0},y_{1},\cdots,y_{i})</tex> {
return <tex>R(x,y_{1},\cdots,y_{i})</tex>;
}
Таким образом, <tex>\Pi_{i} \subset \Sigma_{i+1}, \Pi_{i} \subset \Pi_{i+1} \Rightarrow \Pi_{i} \subset \Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}</tex>.
→Классы Σ и Π: dollar signs removed.... what were they doing here in the first place?
|definition =
<tex>\Sigma_{i} = \{L \bigm| \exists R(x,y_{1},\cdots,y_{i}) \in \mathrm{P}, p</tex> {{---}} <tex>poly : \forall x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \forall y_{2} \exists y_{3} \cdots Q y_{i} : \forall j |y_{j}|~\le~p(|x|), R(x,y_{1},\cdots,y_{i})\},</tex><br/>
где <tex>L</tex> — формальный язык <tex>,Q = \exists</tex> для <tex>i = 2k$-$1,</tex> <tex>Q = \forall</tex> для <tex>i = 2k</tex>.
}}
|definition =
<tex>\Pi_{i} = \{L \bigm| \exists R(x, y_{1},\cdots,y_{i}) \in \mathrm{P}, p</tex> {{---}} <tex>poly : \forall x \in L \Leftrightarrow \forall y_{1} \exists y_{2} \forall y_{3} \cdots Q y_{i} : \forall j |y_{j}|~\le~p(|x|), R(x, y_{1}, \cdots, y_{i}) \},</tex><br/>
где <tex>L</tex> — формальный язык <tex>,Q = \forall</tex> для <tex>i = 2k$-$1,</tex> <tex>Q = \exists</tex> для <tex>i = 2k</tex>.
}}
}
Таким образом, <tex>\Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1}, \Sigma_{i} \subset \Pi_{i+1} \Rightarrow \Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}</tex>.
}}
Из самого выражения для <tex>\mathrm{co\Pi_{i}}</tex> очевидно равенство.
}}
== Пример Σ и Π-полных задач ==
{{Определение
|definition = Задачей <tex>\mathrm{QBF^{\Sigma}_{k}}</tex> называется объединение удовлетворимых булевых формул с <tex>k</tex> изменениями кванторов, где первым квантором является <tex>\exists</tex>.<br/>
<tex>\mathrm{QBF^{\Sigma}_{k}} = \{\phi \bigm| \exists X_{1} \forall X_{2} \exists X_{3} \cdots : \phi(X_{1} \cdots X_{k})\}</tex>,<br/>
где <tex>X_{i}</tex> {{---}} попарно непересекающиеся множества аргументов <tex>\phi</tex>.
}}
<tex>\mathrm{QBF^{\Sigma}_{k}}</tex> {{---}} <tex>\mathrm{\Sigma_{k}}</tex>-полная задача (доказательство аналогично доказательству [[Теорема Бермана — Форчуна|coNP-полноты TAUT]]).
{{Определение
|definition = Задачей <tex>\mathrm{QBF^{\Pi}_{k}}</tex> называется объединение удовлетворимых булевых формул с <tex>k</tex> изменениями кванторов, где первым квантором является <tex>\forall</tex>.<br/>
<tex>\mathrm{QBF^{\Pi}_{k}} = \{\phi \bigm| \forall X_{1} \exists X_{2} \forall X_{3} \cdots : \phi(X_{1} \cdots X_{k})\}</tex>,<br/>
где <tex>X_{i}</tex> {{---}} попарно непересекающиеся множества аргументов <tex>\phi</tex>.
}}
Аналогично предыдущей, <tex>\mathrm{QBF^{\Pi}_{k}}</tex> {{---}} <tex>\mathrm{\Pi_{k}}</tex>-полная задача.
== Класс PH ==
{{Определение
|definition =
<tex>\mathrm{PH_{1}PH} = {\bigcup \atop {i \in \mathbb{N}}} \Sigma_{i}</tex>.<br/><tex>\mathrm{PH_{2}} = {\bigcup \atop {i \in \mathbb{N}}} \Pi_{i}</tex>.<br/><tex>\mathrm{PH_{3}} = {\bigcup \atop {i \in \mathbb{N}}} (\Sigma_{i} \cup \Pi_{i})</tex>.}} {{Теорема|statement = Все три определения класса <tex>PH</tex> эквивалентны, т.е. <tex>\mathrm{PH_{1}} = \mathrm{PH_{2}} = \mathrm{PH_{3}}</tex>.|proof = <tex>\Sigma_{i} \subset \Pi_{i+1} \Rightarrow \mathrm{PH_{1}} \subset \mathrm{PH_{2}}</tex>.<br/><tex>\Pi_{i} \subset (\Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}) \subset (\Sigma_{i+1} \cup \Pi_{i+1}) \Rightarrow \mathrm{PH_{2}} \subset \mathrm{PH_{3}}</tex>.<br/><tex>\Pi_{i} \subset \Sigma_{i+1}, \Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1} \Rightarrow \mathrm{PH_{3}} \subset \mathrm{PH_{1}}</tex>.<br/>Таким образом, <tex>\mathrm{PH_{1}} \subset \mathrm{PH_{2}} \subset \mathrm{PH_{3}} \subset \mathrm{PH_{1}}</tex>.
}}
Замечание: иногда удобнее пользоваться альтернативными определениями <tex>\mathrm{PH}</tex>. Например:
* <tex>\mathrm{PH} = {\bigcup \atop {i \in \mathbb{N}}} \Pi_{i}</tex>,<br/>
* <tex>\mathrm{PH} = {\bigcup \atop {i \in \mathbb{N}}} (\Sigma_{i} \cup \Pi_{i})</tex>.
{{Теорема
}}
[[Категория: Теория Классы сложности]]
