18
правок
Изменения
Объяснил асимптотику
=== Асимптотическое поведение последовательности, заданной рекуррентным соотношением ===
== Необходимые определения Нахождение асимптотики рекуррентной последовательности ==Здесь будет рассмотрен метод поиска функции, которая имеет одинаковую асимптотику<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%82%D0%BE%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE Асимптотическое равенство]</ref> с <tex>a_n</tex>, то есть при <tex>n \rightarrow \infty</tex> будет отличаться от <tex>a_n</tex> в константу раз. Из [[Теорема о связи между рациональностью производящей функции и линейной рекуррентностью задаваемой ей последовательности | теоремы о связи между рациональностью производящей функции и линейной рекуррентностью задаваемой ей последовательности]] известно, что последовательность, заданная рекуррентным соотношением, представима в виде дробно-рациональной производящей функции в следующем виде: <tex>A(t)=\dfrac{P(t)}{Определение|idQ(t)}</tex>, где <tex>Q(t) =def_linear1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_s \cdot t^s</tex>, <tex>deg(P) < s</tex>, тогда <tex>Q(t)</tex> — многочлен конечной степени, следовательно, он имеет <tex>s</tex> корней <tex>t_i\in \mathbb{C}</tex>, каждый из которых имеет некоторую кратность <tex>f_i</tex>. '''Идея''' Дробно-рациональную производящую функцию можно представить в виде <tex>A(t)=\dfrac{P(t)}{Q(t)}=\dfrac{c_1}{(1-r_1 t)^{f_1}} + \dfrac{c_2}{(1-r_2 t)^{f_2}} + \ldots + \dfrac{c_s}{(1-r_s t)^{f_s}}</tex>, а из [[Произведение Адамара рациональных производящих функций#lemma1 |definition=Последовательность леммы о представлении коэффициента последовательности, заданной рациональной ПФ, в форме квазимногочлена]] мы знаем, чему равен <tex>a_0n</tex>-й коэффициент последовательности, a_1которую задает каждая дробь, тогда <tex>n</tex>-й коэффициент <tex>A(t)</tex> будет равен <tex>c_1 \begin{pmatrix} f_1 - 1 + n \\ f_1 - 1 \end{pmatrix} r_1^{n} + c_2 \begin{pmatrix} f_2 - 1 + n \\ f_2 - 1 \end{pmatrix} r_2^{n}+\ldots+c_s \begin{pmatrix} f_s - 1 + n \\ f_s - 1 \end{pmatrix} r_s^{n}</tex>. Очевидно, наибольший вклад в поведение <tex>a_n</tex> вносит наибольший по модулю <tex>r_i</tex> с наибольшей кратностью <tex>f_i</tex>. Зная, что <tex>\begin{pmatrix} f_i - 1 + n \\ f_i - 1 \end{pmatrix} = \dfrac{(n + 1)(n + 2)\ldots (n + f_i - 1)}{(f_i - 1)!}</tex> называется , и, пренебрегая константой, получаем, что <tex>a_n \sim n^{f_i - 1} \cdot r_i^{n}</tex>. '''линейной рекуррентной последовательностьюАлгоритм''' Найдем обратные корни к <tex>t_i</tex>, то есть <tex>r_i = \dfrac{1}{t_i}</tex>.Тогда имеем набор <tex>r_1, r_2, \,\dots, r_s</tex> обратных корней <tex>Q(англt)</tex> с кратностью соответственно <tex>f_1, f_2, \,\dots, f_s</tex>: # Существует единственный максимальный по модулю обратный корень: <tex>\exists i: \: \forall j \neq i \; |r_i| > |r_j|</tex>. ''constant<br/> Тогда <tex>r_i \in \mathbb{R}</tex>, в этом случае <tex>a_n \sim n^{f_i -recursive sequence''1} \cdot r_{i}^{n}</tex>.# Существует несколько максимальных по модулю обратных корней:<br/> Найдем коэффициенты корней <tex>c_i</tex>, которые получаются разложением <tex>A(t), если её члены </tex> на сумму простых дробей в вида <tex>a_0 \ldots a_dfrac{c_i}{k (1 - 1r_i t)^{f_i}} </tex> заданы. <br/> Возьмем те обратные корни, кратность которых максимальна, тогда имеем набор <tex>r_1, а r_2, \,\dots, r_l</tex>, в котором каждый обратный корень имеет максимальную кратность <tex>f</tex>. Тогда <tex>\forall n j \in 1 \,\dots\, l :\; r_j = z e^{i \geqslant k phi_j}</tex> выполняется , где <tex>z</tex> — модуль каждого из корней. <br/>Значит <tex>\displaystyle a_n \sim n^{f - 1} \sum_{j = 1}^{l} {c_j \cdot r_j^n} = c_1 n^{f - 1} \sum_{j = 1}^{l} {c_j \cdot (z\cdot a_e^{i \phi_j})^{n }} = n^{f - 1} + z^n \ldots + c_k sum_{j = 1}^{l} {c_j \cdot a_e^{i \phi_j n }}</tex>, где <tex>c_j</tex> — коэффициенты, полученные при разбиении дробно-рациональной функции на простые дроби. == Примеры задач =={{Задача|definition = Оцените асимптотическое поведение коэффициента <tex>a_n</tex> производящей функции <tex>A(t)=\dfrac{t^2}{1 - k2t - t^2 + 2t^3}</tex>при <tex>n \rightarrow \infty</tex>.
}}
Найдем корни знаменателя производящей функции: <tex>Q(t) = 1 - 2t - t^2 + 2t^3 = (1 - 2t)(1 - t)(1 + t)</tex>, тогда обратные корни: <tex>r_1 = 2,\,f_1 = 1;\; r_2 = 1,\, f_2 = 1;\; r_3 = -1,\, f_3 = 1</tex>.
Выберем максимальный по модулю <tex>r_1 = 2</tex>, тогда <tex>a_n \sim n^{f_1 - 1} \cdot r_{1}^{n} = 2^n</tex>.
{{Задача
|definition = Оцените асимптотическое поведение коэффициента <tex>a_n</tex> производящей функции <tex>A(t)=\dfrac{1}{(1 - 2t)(1 + 4t^2)}</tex> при <tex>n \rightarrow \infty</tex>.
}}
Найдем корни знаменателя производящей функции: <tex>Q(t) = (1 - 2t)(1 + 4t^2)</tex>: <tex>t_1 = \dfrac{1}{2},\, t_2 = \dfrac{1}{2i},\, t_3 = -\dfrac{1}{2i}</tex>, тогда обратные корни: <tex>r_1 = 2,\,f_1 = 1;\; r_2 = 2i,\, f_2 = 1;\; r_3 = -2i,\, f_3 = 1</tex>.
Все три обратных корня имеют одинаковый модуль <tex>z = 2</tex> и кратность <tex>f = 1</tex>.
Для определения доминирующего коэффициента разложим производящую функцию на простые дроби, например, с помощью метода неопределенных коэффициентов, так мы найдем <tex>c_i:</tex>
<tex>A(t) = \dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2} - t} + \dfrac{\frac{1 - i}{4}}{t + \frac{1}{2i}} + \dfrac{\frac{1 + i}{4}}{t - \frac{1}{2i}},\; c_1 = \dfrac{1}{4},\, c_2 = \dfrac{1 - i}{4},\,
c_3 = \dfrac{1 + i}{4}</tex>
<определение через большую омегаtex>\displaystyle a_n \sim n^{f - 1} \sum_{i = 1}^{3} {c_i \cdot r_i^{n}} = n^{1 - 1} \cdot \left(\dfrac{1}{4} \cdot 2^n + \dfrac{1 - i}{4} \cdot (2i)^n + \dfrac{1 + i}{4} \cdot (-2i)^n \right) =2^{n - 2}\cdot (1 + (1 - i)\cdot i^n + (1 + i) \cdot (-i)^n)</tex>.
== Алгоритм Примечания==Пусть последовательность задана дробно-рациональной функцией <tex>A(t) = \dfrac{P(t)}{Q(t)}</tex>, тогда <tex>Q(t)</tex> - многочлен конечной степени, и мы можем найти его обратные корни <tex>r_1, r_2, \dots, r_s</tex> с кратностью соответственно <tex>f_1, f_2, \dots, f_s</tex>.
