Изменения

== Необходимые определения =={{Определение|id=def_linear. |definition=Последовательность <tex>a_0, a_1, \ldots, a_n, \ldots </tex> называется '''линейной Нахождение асимптотики рекуррентной последовательностью''' (англ. ''constant-recursive sequence''), если её члены <tex>a_0 \ldots a_{k - 1} </tex> заданы, а <tex>\forall n \geqslant k </tex> выполняется <tex> a_n = c_1 \cdot a_{n - 1} + \ldots + c_k \cdot a_{n - k}</tex>}} {{Определение|idпоследовательности =def_asymp_equal. |definition=Функции <tex>f: \;\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}</tex> и <tex>g: \;\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}</tex> ''имеют одинаковую асимптотику'', или ''одинаковый рост'', при <tex>n \rightarrow \infty</tex>, если существует предел <tex>\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}{\dfrac{f(n)}{g(n)}}</tex>, и он равен <tex>1</tex>.}} Здесь будет рассмотрен метод поиска функции <tex>g(n)</tex>, такой что <tex>g(n)</tex> которая имеет одинаковую асимптотику с <tex>a_n</texref>. Из [https://neercru.ifmowikipedia.ruorg/wiki/index.php?title=%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BE_90%D1%81%D0%B2%D1%8F%D0%B7%D0%B8_B8%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%B4BF%D1%83_%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD82%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%D1%8E_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D1%8F%D1%8987%D0%B5%D0%B9_%D1%84%D1%83%D0%BD81%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8_%D0%B8_%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_B5_%D1%80%D0%B5B0%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%80B2%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C%D1%8E_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%B2%D0%B0%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B9_%D0%B5%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8&oldid=74516 Асимптотическое равенство]</ref> с <tex>a_n</tex>, то есть при <tex>n \rightarrow \infty</tex> будет отличаться от <tex>a_n</tex> в константу раз. Из [[Теорема о связи между рациональностью производящей функции и линейной рекуррентностью задаваемой ей последовательности | теоремы о связи между рациональностью производящей функции и линейной рекуррентностью задаваемой ей последовательности]] известно, что последовательность, заданная рекуррентным соотношением, представима в виде дробно-рациональной производящей функции в следующем виде: <tex>A(t)=\dfrac{P(t)}{Q(t)}</tex>, где <tex>Q(t) = 1 - c_1 \cdot t - c_2 \cdot t^2 - \ldots - c_k c_s \cdot t^ks</tex>, <tex>deg(P) < ks</tex>, тогда <tex>Q(t)</tex> — многочлен конечной степени, следовательно, он имеет <tex>s</tex> корней <tex>t_i\in \mathbb{C}</tex>, каждый из которых имеет некоторую кратность <tex>f_i</tex>.

''' Существует единственный максимальный обратный корень: Дробно-рациональную производящую функцию можно представить в виде <tex>A(t)=\exists i: dfrac{P(t)}{Q(t)}=\: dfrac{c_1}{(1-r_1 t)^{f_1}} + \forall j dfrac{c_2}{(1-r_2 t)^{f_2}} + \neq i ldots + \; dfrac{c_s}{(1-r_s t)^{f_s}}</tex>, а из [[Произведение Адамара рациональных производящих функций#lemma1 |леммы о представлении коэффициента последовательности, заданной рациональной ПФ, в форме квазимногочлена]] мы знаем, чему равен <tex>n</tex>-й коэффициент последовательности, которую задает каждая дробь, тогда <tex>n</tex>-й коэффициент <tex>A(t)</tex> будет равен <tex>c_1 \begin{pmatrix} f_1 - 1 + n \\ f_1 - 1 \end{pmatrix} r_1^{n} + c_2 \begin{pmatrix} f_2 - 1 + n \\ f_2 - 1 \end{pmatrix} r_2^{n}+\ldots+c_s \begin{pmatrix} f_s - 1 + n \\ f_s - 1 \end{pmatrix} r_s^{n}</tex>. Очевидно, наибольший вклад в поведение <tex>a_n</tex> вносит наибольший по модулю <tex>r_i| </tex> с наибольшей кратностью <tex> |r_j|f_i</tex>'''.

Тогда Зная, что <tex>r_i \in begin{pmatrix} f_i - 1 + n \\ f_i - 1 \mathbbend{Rpmatrix} = \dfrac{(n + 1)(n + 2)\ldots(n + f_i - 1)}{(f_i - 1)!}</tex>, в этом случае и, пренебрегая константой, получаем, что <tex>a_n \sim n^{f_i - 1} \cdot r_{i}r_i^{n}</tex>.

''' Существует несколько максимальных по модулю корней Алгоритм'''

Возьмем те из них, кратность которых максимальна, тогда имеем Найдем обратные корни к <tex>r_1, r_2, \dots, r_lt_i</tex>, у каждого из которых кратность то есть <tex>fr_i = \dfrac{1}{t_i}</tex>.Тогда имеем набор <tex>r_1, r_2, \forall j \in 1,\dots l :\; r_j = z e^{i \phi_j}, r_s</tex> обратных корней <tex>Q(t)</tex>, где с кратностью соответственно <tex>zf_1, f_2, \,\dots, f_s</tex> — модуль каждого из корней. :

# Существует единственный максимальный по модулю обратный корень: <tex>\exists i: \: \forall j \neq i \; |r_i| > |r_j|</tex>.<br/> Тогда <tex>r_i \in \mathbb{R}</tex>, в этом случае <tex>a_n \sim n^{f_i - 1} \cdot r_{i}^{n}</tex>.# Существует несколько максимальных по модулю обратных корней:<br/> Найдем коэффициенты корней <tex>c_i</tex>, которые получаются разложением <tex>A(t)</tex> на сумму простых дробей в вида <tex>\dfrac{c_i}{(1 - r_i t)^{f_i}}</tex>. <br/> Возьмем те обратные корни, кратность которых максимальна, тогда имеем набор <tex>r_1, r_2, \,\dots, r_l</tex>, в котором каждый обратный корень имеет максимальную кратность <tex>f</tex>. Тогда <tex>\forall j \in 1 \,\dots\, l :\; r_j = z e^{i \phi_j}</tex>, где <tex>z</tex> — модуль каждого из корней. <br/>Значит <tex>\displaystyle a_n \sim n^{f - 1} \sum_{j = 1}^{l} {c_j \cdot r_j^n} = n^{f - 1} \sum_{j = 1}^{l} {c_j \cdot (z\cdot e^{i \phi_j})^{n}} = n^{f - 1} z^n \sum_{j = 1}^{l} {c_j \cdot e^{i \phi_j n}}</tex>, где <tex>c_j</tex> — коэффициенты, полученные при разбиении дробно-рациональной функции на простые дроби.

|definition = Оцените асимптотическое поведение коэффициента <tex>a_n</tex> производящей функции <tex>A(t)=\dfrac{t^2}{1 - 2t - t^2 + 2t^3}</tex> при <tex>n \rightarrow \infty</tex>.

|definition = Оцените асимптотическое поведение коэффициента <tex>a_n</tex> производящей функции <tex>A(t)=\dfrac{1}{(1 - 2t)(1 + 4t^2)}</tex> при <tex>n \rightarrow \infty</tex>.

Данная В этом примере оценка учитывает включает в себя все обратные корни с их коэффициентами, поэтому она является представлением коэффициента производящей функции в форме квазимногочлена<ref>[https:[Произведение Адамара рациональных производящих функций#lemma1 | Лемма о представлении коэффициента рациональной производящей функции в форме квазимногочлена]]<//neercref>.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%90%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B0%D1%80%D0%B0_%D1%80%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D1%8F%D1%89%D0%B8%D1%85_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9 квазимногочлена]Это значит, поэтому что вместо знака <tex>\sim</tex> можно поставить знак равенства.

* ''GrahamR.L., KnuthD.E., and Patashnik: O.'' (1994) Concrete Mathematics. Second edition. Massachusetts: Addison-Weasley Publishing Company, Inc. P.340-347.