Участник:Quarter — различия между версиями
Quarter (обсуждение | вклад) |
Quarter (обсуждение | вклад) |
||
(не показаны 2 промежуточные версии этого же участника) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | Распределение степеней <tex>P(k)</tex> графа определяется как доля узлов, имеющих степень <tex>k</tex>. Таким образом, если есть в общей сложности <tex>n</tex> узлов в графе и из них <tex>n_k</tex> имеют степень <tex>k</tex>, то <tex>P(k) = \frac{n_k}{n}</tex>. | + | == Распределение степеней вершин == |
+ | |||
+ | Распределение степеней <tex>P(k)</tex> графа определяется как доля узлов, имеющих степень <tex>k</tex>. Таким образом, если есть в общей сложности <tex>n</tex> узлов в графе и из них <tex>n_k</tex> имеют степень <tex>k</tex>, то <tex>P(k) = \frac{n_k}{n}</tex>. Другими словами, <tex>P(k)</tex> равно вероятности того, что отдельно взятая вершина в <tex>G(n, p)</tex> имеет степень <tex>k</tex>. | ||
Случайный граф <tex>G(n, p)</tex> имеет биномиальное распределение степеней вершин <tex>k</tex>: | Случайный граф <tex>G(n, p)</tex> имеет биномиальное распределение степеней вершин <tex>k</tex>: | ||
Строка 9: | Строка 11: | ||
</tex> | </tex> | ||
</p> | </p> | ||
− | Действительно, если вероятность появления ребра <tex>p</tex>, то вероятность появления ровно <tex>k</tex> рёбер у вершины равна <tex>p^k(1-p)^{n-1-k}</tex>. Таких наборов рёбер у одной вершины всего <tex>{n-1 \choose k}</tex>, откуда получаем искомое распределение. | + | Действительно, если вероятность появления ребра <tex>p</tex>, то вероятность появления ровно <tex>k</tex> рёбер у вершины равна <tex>p^k(1-p)^{n-1-k}</tex>(схема Бернулли). Таких наборов рёбер у одной вершины всего <tex>{n-1 \choose k}</tex>, откуда получаем искомое распределение. |
+ | |||
+ | |||
+ | == Распределение максимальной степени вершин == | ||
+ | |||
+ | Максимальная степень вершины равна <tex>k</tex> тогда и только тогда, когда не существует вершины степенью больше <tex>k</tex>. Таким образом, нужно посчитать вероятность события <tex>A: \exists \; вершина \; степенью \; k \;\&\; \forall x>k \; !\exists \; вершины \; степенью \; x</tex>. | ||
+ | |||
+ | Получаем: <tex>Q(k) = P(k) \cdot \sum_{x=k+1}^{n} (1-P(x))</tex> | ||
+ | |||
+ | <tex>Q(k) = (n-k)P(k) - P(k)\sum_{x=k+1}^{n} P(x)</tex> |
Версия 21:57, 15 июня 2021
Распределение степеней вершин
Распределение степеней
графа определяется как доля узлов, имеющих степень . Таким образом, если есть в общей сложности узлов в графе и из них имеют степень , то . Другими словами, равно вероятности того, что отдельно взятая вершина в имеет степень .Случайный граф
имеет биномиальное распределение степеней вершин :
Действительно, если вероятность появления ребра
, то вероятность появления ровно рёбер у вершины равна (схема Бернулли). Таких наборов рёбер у одной вершины всего , откуда получаем искомое распределение.
Распределение максимальной степени вершин
Максимальная степень вершины равна
тогда и только тогда, когда не существует вершины степенью больше . Таким образом, нужно посчитать вероятность события .Получаем: