Изменения

{{В разработке}}[[Категория:Математический анализ 1 курс]] [[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория:Отношения]]

Если А и В ''Множество'' {{---}} произвольные множествапервичное математическое понятие, и между ними можно установить биекциюкоторому не дано строгое математическое определение. Представляет собой набор, совокупность каких-либо объектов, что они '''равномощны''': <tex> |A| = |B| </tex>объединенных общим свойством.

Объекты, из которых состоит множество, называют ''элементами'' этого множества. Если <tex> |a</tex> {{---}} элемент множества <tex>A| = |</tex>, то записывают <tex>a \mathbb N| in A</tex> («<tex>a</tex> принадлежит <tex>A</tex>»). Если <tex>a</tex> не является элементом множества <tex>A</tex>, то записывают <tex>a \notin A</tex> («<tex>a</tex> не принадлежит <tex>A называется '''счетным''' множеством</tex>»). В отличие от мультимножества каждый элемент множества уникален, и во множестве не может быть двух идентичных элементов.

<tex> A = \{a_1, a_2, ... , a_n \} </tex> - счетное множество.=Способы задания множеств==

Мощность счетных Существуют два основных способа задания множеств минимальна по сравнению с другими бесконечными множествами: перечисление и описание.

{{Утверждение|statement==== Перечисление ====Если А - бесконечное множествоПервый способ состоит в том, что задаётся и перечисляется полный список элементов, то входящих в нем содержится по меньшей мере одно счетное подмножествомножество.|proof= <tex> B A = \{a_1, a_2 ..., a_n, ...\subset A } </tex> ==== Описание ====Второй способ применяется, когда множество нельзя или затруднительно задать с помощью списка. В таком случае множества определяются свойствами их элементов.

<tex> a_1 \in A = \Rightarrow A {a \backslash mid P\} </tex> , где <tex>P</tex> {{ a_1 \---}} = A_1 определенное свойство элемента <tex>a</tex> - бесконечное множество.

<tex> a_2 \in A_1 \Rightarrow A_1 \backslash \{ a_2 \} = A_2 </tex> - также бесконечное множество.= Отношения между множествами ==

Продолжаем этот процесс далее, пока не останется Два множества <tex>A</tex> и <tex> B \subset A </tex> - счетное множество. (ЩИТО? У кого есть что-нибудь адекватное насчет этого, исправьте, пожалуйстамогут вступать друг с другом в различные отношения.)}}

Если ==== Включение ====* <tex> A</tex> включено в <tex>B</tex>, если каждый элемент множества <tex>A</tex> принадлежит также и множеству <tex>B</tex> : *: <tex>\displaystyle A\subseteq B\Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon \{ a_1, a_2, ... , a_n, ... a\} in B</tex> - совокупность попарно различных элементов, то это - счетное множество.

Для счетных множеств часто применяется следующий факт* <tex>A</tex> включает <tex>B</tex>, если <tex>B</tex> включено в <tex>A</tex>:*: <tex>{{Утверждение|statement=Не более чем счетное объединение не более, чем счетных множеств, не более, чем счетно:\displaystyle A\supseteq B\Leftrightarrow B\subseteq A}</tex>

Пусть * <tex> A_n A</tex> - счетноестрого включено в <tex>B</tex>, если <tex>A</конечное множество.tex> включено в <tex>B</tex>, но не равно ему:*: <tex>{\displaystyle A\subset B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\land (A\neq B)}</tex>

Тогда==== Равенство ====* <tex>A</tex> равно <tex>B</tex>, если <tex>A</tex> и <tex>B</tex> включены друг в друга:*: <tex> | {\bigcupdisplaystyle A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B)\limits_n A_n | = |land (B\mathbb N| subseteq A)}</tex>

|proof==== Общие элементы ====* <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются, если у них нет общих элементов:*: <tex>A</tex> и <tex>B</tex> не пересекаются <tex>{\displaystyle \Leftrightarrow \forall a\in A \ \colon a\notin B}</tex>

<tex> \begin{pmatrix} a_{11} & a_Определение|definition=''Пустое множество'' {12} & a_{13---} & \cdots \\ a_{21} & a_{22} & \cdots множество, не содержащее ни одного элемента. Обычно пустое множество обозначают как <tex>\\ a_{31} & \cdots \\ \cdots \end{pmatrix} varnothing</tex>.

''Универсальное множество'' {{---}} множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно. Обычно универсальное множество обозначают как <tex> Множество I = [0, 1] \ \displaystyle \mathbb {U}</tex> называется ''континииумом''.

{{Утверждение |statement=<tex> I </tex> - несчетное множество.|proof=Будем доказывать от противного. Применим принцип вложенных отрезков:Операции над множествами ==

Пусть <tex> I = \{ x_1, x_2, ... , x_n \} </tex>=== Бинарные операции над множествами ====

Разделим I на 3 части * Пересечение <tex>A</tex> и назовем <tex> B</tex>. *: <tex>{\displaystyle A\cap B =\{x\mid x\in A\Delta_1 : x_1 land x\notin in B\Delta_1 }}</tex>. Такой отрезок всегда существует.

Далее разобьем * Объединение <tex> \Delta_1 A</tex> на 3 части. Назовем и <tex> \Delta_2 B</tex> тот отрезок, который не содержит . *: <tex> x_2 {\displaystyle A\cup B =\{x\mid x\in A\lor x\in B\}}</tex>, и так далее..

В результате выстраивается система вложенных отрезков* Разность <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. *: <tex>{\displaystyle A\setminus B =A\cap {\overline {B}}=\{x\mid x\in A\land x\notin B\}}</tex>

* Симметрическая разность <tex>A</tex> и <tex>B</tex>. *: <tex> \{ \Delta_n : \Delta_{n+1} displaystyle A \subset bigtriangleup B \Delta_n, x_n equiv A - B = (A \notin cup B) \Delta_n setminus (A \cap B) } </tex>

* Дополнение определяется следующим образом:*: <tex> {\exists d = displaystyle {{\bigcapoverline {A}}\limits_equiv A^{n\complement }=1}^\{x\inftymid x\notin A\}} =U\Delta_n setminus A}</tex> .

<tex> d \in I </tex>. Пусть теперь <tex> d \in \{ x_i \} \Rightarrow d = x_{n_0} </tex>.= Теорема де Моргана ==

По построению: <tex> d = x_{n_0} \notin \Delta_{n_0} </tex>, но <tex> d \in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \Delta_n \Rightarrow d \in \Delta_{n_0} </tex>, противоречие. }}ТеоремаЕсли <tex> |A| about= |I| </tex>, то обычно говорят, что А ''обладает мощностью континиума'': {{Утверждениеде Моргана

<tex> |\mathbb R| displaystyle {\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = |I| \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\\overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha}} </tex>

Рассмотрим функцию <tex> y = tg \Докажем первое утверждение, x, x \in ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) </tex> С ее помощью можно установить биекцию между множествами <tex> \mathbb R </tex> и <tex> ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) </tex>второе доказывается аналогично. Биекцию между множествами <tex> (0Для того, 1) </tex> и <tex> ( -\frac{\pi}{2}чтобы доказать равенство множеств, \frac{\pi}{2} ) </tex> можно установить параллельным переносом и сжатием: <tex> x \leftrightarrow (x * \pi) - \frac {\pi}{2} </tex> Получилидокажем, что <tex> |\mathbb R| = | ( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} ) | = | (0, 1) | </tex>. Осталось доказать, что <tex> |первое множество включает второе и наоборот (0, 1частый приём при доказательстве равенства двух множеств)| = |[0, 1]| </tex>. Применим следующий прием:

Пусть Сначала докажем, что <tex> a_1, a_2, ... , a_n, ... \in (0, 1) \displaystyle \overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \displaystyle \subseteq \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha}</tex> - попарно различны.

Множество Пусть <tex> A = x \in \left ( \overline{ a_1\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} \right )</tex>. Значит, a_2<tex>\nexists \ \alpha_i</tex> такого, что <tex>x \in A_{\alpha_i}</tex>... , a_nСледовательно, <tex>\forall \alpha : \ x \in \overline{A_\alpha} \Rightarrow x \in \left (\bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \right )</tex>... В силу выбора <tex>x</tex> (любой элемент множества <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} </tex> - счетное) следует искомое включение.

Между счетными множествами можно установить биекцию: Теперь докажем, что <tex> B \leftrightarrow A \Rightarrow (0, 1) displaystyle \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \subseteq \backslash A = [0, 1] overline{\backslash B bigcup\Rightarrow (0, 1) = [0, 1] limits_\Rightarrow |(0, 1)| = |[0, 1]| </tex> В итоге получили, что <tex> |alpha A_\mathbb R| = |[0, 1]| alpha}</tex>

<tex> \mathbb Q </tex> - счетноТеорема де Моргана устанавливает двойственность понятий объединения и пересечения множеств. <tex> |\mathbb R \backslash \mathbb Q| = |I| \Rightarrow </tex> иррациональных чисел по мощности континииум. [[Категория:Математический анализ 1 курс]] ==Задание множеств== 1) Перечислением элементов: <tex> A = \{a_1То есть, имея некоторое верное равенство, a_2 ...содержащее объединения и пересечения, a_nможно переписать его, заменив пересечения на объединения и наоборот...\} </tex>Например, из равенства 2) Заданием определенного свойства обьектов: <tex> A = \{a: P\} </tex> , где P - определенное свойство обьекта а ==Операции== # <tex> A \subset B </tex> (A является подмножеством B, каждый элемент из А также принадлежит В (<tex> \forall x: x \in A \Rightarrow x \in cup B </tex>);# <tex> A \cap B </tex> (Пересечение множеств А и В: <tex> C = (x \in A) \wedge (x \in Bcap C) </tex>);# <tex> A \cup (B </tex> (Объединение множеств А и В: <tex> (x \in Acap C) \vee Rightarrow (x \in B) </tex>);# <tex> B \backslash A </tex> (Разность множеств: <tex> (x \in cap B) \wedge cup C = (x \notin A) </tex>;# <tex> \varnothing </tex> - пустое множество:# <tex> A \cup \varnothing = A </tex># <tex> A C) \cap \varnothing = \varnothing </tex># <tex> \forall A: \varnothing \subseteq A </tex># <tex> \bigcup\limits_{\alpha\in W} A_\alpha</tex> - обьединение нескольких множеств. В общем случае может состоять из бесконечного количества множеств:#* <tex> \bigcup\limits_{j \in N} A_j = A_1 \cup A_2 \cup </tex> ...#* <tex> \bigcup\limits_{0 < x < 1} A_x </tex>#* <tex> \bigcup\limits_{\alpha \in W} A_{\alpha} </tex>, и так далее..# <tex> A \cup (B \cup C ... \subseteq U )</tex> - "множество всего".# <tex>\overline{A} = U </tex> \ <tex> A </tex> - дополнение Доказывается это следующим образом: равны множества А, дополнительное множество значит, равны дополнения. После раскрытия дополнений приходим к А до U; {{Теорема|about=Де Моргана |statement= <tex>\overline{\bigcup\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcap\limits_\alpha \overline{A_\alpha} \\\overline{\bigcap\limits_\alpha A_\alpha} = \bigcup\limits_\alpha \overline{A_\alpha} </tex>|proof=????????}}написанному равенству.