Изменения

|definition='''Распределение степеней вершин случайного графа''' - это функция <tex>P(x)</tex>, определённая на <tex>\mathbb{R}</tex> как <tex>P(\xi=x)</tex>, то есть выражающая вероятность того, что вершина <tex>\xi</tex> в графе имеет степень <tex>x</tex>G. Другими словами, распределение степеней <tex>P(n, pk)</tex> имеет графа определяется как доля узлов, имеющих степень <tex>xk</tex>.

|example=Если есть в общей сложности <tex>n</tex> узлов в графе и из них <tex>n_k</tex> имеют степень <tex>k</tex>, то <tex>P(k) = \frac{n_k}{n}</tex>. Другими словами, <tex>P(k)</tex> равно вероятности того, что отдельно взятая вершина в <tex>G(n, p)</tex> имеет степень <tex>k</tex>.

Случайный {{Утверждение|statement=Дан случайный граф <tex>G(n, p)</tex> имеет биномиальное в биноминальной модели. Тогда для него распределение степеней вершин <tex>k</tex>:

|proof=Действительно, если вероятность появления ребра <tex>p</tex>, то вероятность появления ровно <tex>k</tex> рёбер у вершины равна <tex>p^k(1-p)^{n-1-k}</tex>([[схема Бернулли]]). Таких наборов рёбер у одной вершины всего <tex>{n-1 \choose k}</tex>, откуда получаем искомое распределение.}}

|definition='''Распределение максимальной степени вершин случайного графа''' - это функция <tex>Q(x)</tex>, определённая на <tex>\mathbb{R}</tex> как <tex>P(\xi=x)</tex>, то есть выражающая вероятность того, что максимальная степень вершины <tex>\xi</tex> в графе <tex>G(n, p)</tex> равна <tex>x</tex>.

Максимальная степень вершины равна <tex>k</tex> тогда и только тогда, когда не существует вершины степенью больше <tex>k</tex>. Таким образом, нужно посчитать вероятность события <tex>A: \exists v\in G: \; deg(v) = k \;\&\; !\exists v\in G: \; deg(v) > x</tex>.

<tex>P(!\exists v: \; deg(vk) </tex> - вероятность того, что вершина имеет степень <tex> k) = </tex>. Тогда вероятность того, что имеет одну из степеней <tex>1...k</tex> - <tex>\sum_{x=k+1}^{nk} P(x)</tex>. Нам нужно обратное событие, при наступлении которого вершина имеет степень больше <tex>k</tex>. Его вероятность равна <tex>1-\sum_{x=1}^{k} P(x))</tex>.

События независимы, поэтому получаем: <tex>QP(!\exists v: \; deg(v) > k) = P(k) \cdot 1 - \sum_{x=k+1}^{nk} (1-P(x))</tex>

События независимы, поэтому получаем: <tex>Q(k) = P(n-k)P\cdot (k) 1 - P(k)\sum_{x=k+1}^{nk} P(x))</tex>}}