Операции анализа с функциональными рядами

Пункт 1

Из арифметики пределов функций хорошо известно равенство: [math]\lim \limits_{x \to a} \sum \limits_{k = 0}^{n} f_k(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n} \lim \limits_{x \to a} f_k(x)[/math] Возникает вопрос, правда ли, что [math]\lim \limits_{x \to a} \sum_{k = 0}^{\infty} f_k(x) = \sum \limits_{k = 0}^{\infty} \lim_{x \to a} f_k(x)[/math] Обсуждаемое равенство — частный случай важного вопроса матанализа, имеющий отношение к перестановке местами двух операций предельного перехода, что коротко записывается так: [math]\lim \limits_{x \to a} \lim \limits_{x \to b} f(x,y) = \lim \limits_{x \to b} \lim \limits_{x \to a} f(x,y)[/math] В общем случае это не так. Реанимируем пример, описанный выше и убедимся, что написанное неравенство не верно. ЗДЕСЬ ДОЛЖНО БЫТЬ ОПИСАНИЕ ФУНКЦИИ И КАРТИНКА

[math]\lim \limits_{n \to \infty} \lim \limits_{x \to 0} f_n(x) = 1[/math] , так как [math]\lim \limits_{x \to 0} f_n(x) = 1[/math]

[math]\lim \limits_{n \to 0} \lim \limits_{x \to \infty} f_n(x) = 0[/math] , так как [math]\lim \limits_{x \to \infty} f_n(x) = 0[/math]

Значит, в данном случае равенство не верно.

Теорема:

Пусть на множестве [math]E[/math] заданы функции [math]f_n[/math], [math]а[/math] — предельная точка этого множества и [math]\forall n \in \mathbb{N} \exists \lim \limits_{x \to a} f_n(a)[/math] , тогда [math]\sum \limits_{n = 0}^{\infty} f_n[/math] - равномерно сходится на [math]E[/math], то выполняется равенство : [math]\lim \limits_{x \to a} \sum \limits_{n = 0}^{\infty} = \sum \limits_{n = 0}^{\infty} \lim_{x \to a} f_n(x)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]A_n = \lim \limits_{x \to a} f_n(x)[/math]. Прежде всего установим, что [math]\sum \limits_{n = 1}^{\infty} A_n \lt + \infty[/math]. Так как функциональный ряд сходится равномерно, то по критерию Коши равномерной сходимости: [math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists N : \forall m \ge n \gt N \forall x \in E \Rightarrow |\sum \limits_{k = n}^{m} f_k(x)| \le \varepsilon[/math]. Так как написанное неравенство выполняется для [math]\forall x[/math], а под знаком модуля стоит конечное число слагаемых, то по арифметике пределов можно перейти к пределу при [math]x \to a \Rightarrow |\sum \limits_{k = n}^{m} A_k| \lt \varepsilon[/math]. Здесь [math]\varepsilon[/math] - произвольно, следовательно по критерию Коши сходимости числового ряда, этот ряд сходится, поэтому осталось доказать только предыдущее соотношение. Для этого будем использовать введеное ранее понятие остатка ряда, которое без изменения переносится на сходящиеся функциональные ряды. [math]f(x) = \sum \limits_{k = 1}^{\infty} f_k(x)[/math], [math]A = \sum \limits_{k = 1}^{\infty} A_k[/math], [math]f(x) = f_n(x) + R_n(x)[/math] , где [math]R_n(x) = \sum \limits_{k = n + 1}^{\infty}[/math] Аналогично : [math]A = S_n + R_n[/math], где [math]R_n = \sum \limits_{k = n + 1}^{\infty}[/math] Надо доказать, что [math]\lim \limits_{x \to a} f(x) = A[/math]. Составляем модуль разности : [math]|f(x) - A| = [/math] вставляем остатки [math]= |S_n(x) + R_n(x) - S_n - R_n| \le |S_n(x) - S_n| + |R_n(x) - R_n|[/math] В силу сходимости ряда из пределов [math]R_n \to 0[/math], а в силу равномерной сходимости функционального ряда [math]R_n \stackrel{E}{\rightrightarrows} 0[/math]. Отсюда ясно, что [math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists N : \forall n \gt N \forall x \in E \Rightarrow |R_n| \lt \varepsilon, |R_n(x) \lt \varepsilon|[/math]. Тогда из предыдущего неравенства, подставляя туда [math]n_0 = N + 1[/math], получаем : [math]|f(x) - A| \le |S_{n_0}(x) - S_{n_0}| + 2\varepsilon[/math]. Первое слагамое справа состоит из конечного числа слагаемых, поэтому по арифметике пределов : [math]\lim \limits_{x \to a} S_{n_0}(x) = S_{n_0}[/math]. Значит, для уже существующего [math]\varepsilon \gt 0 \exists \delta \gt 0 : 0 \lt |x - x| \lt \delta \Rightarrow |S_{n_0}(x) - S_{n_0}| \lt \varepsilon[/math]. Финально получаем : [math]\forall \varepsilon \gt 0 \exists \delta \gt 0 : 0 \lt |x - a| \lt \delta \Rightarrow |f(x) - A| \lt 3\varepsilon[/math]. Поэтому по определению предела все установлено.

[math]\triangleleft[/math]