Материал из Викиконспекты
|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | {{Определение
| + | #REDIRECT [[Примеры матроидов#Графовый матроид]] |
| − | |definition=
| |
| − | Пусть <tex>G = (V, E)</tex> - неориентированный граф. Тогда <tex>M = (E, I)</tex>, где <tex>I</tex> состоит из всех ацикличных множеств ребер (то есть являющихся лесами), называют '''графовым(графическим) матроидом.'''
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | {{Лемма
| |
| − | |statement = Графовый матроид является матроидом.
| |
| − | |proof =
| |
| − | Проверим выполнение аксиом независимости:
| |
| − | | |
| − | 1) <tex>\varnothing \in I</tex>
| |
| − | | |
| − | Пустое множество является ациклическим, а значит входит в <tex>I</tex>.
| |
| − | | |
| − | 2) <tex>A \subset B, B \in I \Rightarrow A \in I</tex>
| |
| − | | |
| − | Очевидно, что любой подграф леса, так же является лесом, а значит входит в <tex>I</tex>.
| |
| − | | |
| − | 3) <tex>\mid A \mid < \mid B \mid \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I</tex>
| |
| − | | |
| − | В графе <tex>G_A = (V, A)</tex> как минимум две компоненты связанности, иначе <tex>G_A</tex> являлся бы остовным деревом и не существовало бы ациклического множества с большей мощностью.
| |
| − | | |
| − | Допустим в <tex>B</tex> не существует ребра, соединяющего две различные компоненты связанности из <tex>G_A</tex>, значит любая компонента связанности из <tex>G_B</tex> целиком вершинно-входит в какую-либо компоненту из <tex>G_A</tex>. Рассмотрим любую компоненту связанности Q из <tex>G_A</tex>, у неё <tex>k</tex> вершин и <tex>k - 1</tex> рёбер. Теперь рассмотрим все компоненты связанности <tex>P_i</tex> из <tex>G_B</tex> вершинно-входящие в <tex>Q</tex>, пусть их <tex>m</tex> штук, тогда суммарное кол-во рёбер из равно <tex>k - m</tex> что не превосходит <tex>k - 1</tex> (кол-во рёбер в <tex>Q</tex>). Просуммируем неравенство по всем компонентам связанности из <tex>G_A</tex> и получим <tex>\mid A \mid > \mid B \mid</tex> что протеворечит условию. Значит предположение не верно и в <tex>B</tex> существует искомое ребро <tex>x</tex> из разных компонент связанности <tex>G_B</tex>.
| |
| − | | |
| − | }}
| |
Текущая версия на 21:25, 8 декабря 2021
