Нормированные пространства

Определение и примеры

Пусть [math]X[/math] — линейное пространство над полем [math]\mathbb R[/math]. Отображение [math] \varphi \colon X \to \mathbb R[/math] называется нормой, если:

• [math]\varphi(x) \ge 0[/math], [math]\varphi(x) = 0 \iff x = 0[/math] (положительная определённость)
• [math]\varphi(\alpha x) = |\alpha| \cdot \varphi(x)[/math], [math]\alpha \in \mathbb R[/math] (однородность)
• [math]\varphi(x + y) \le \varphi(x) + \varphi(y)[/math] (неравенство треугольника)

Для нормы применяют следующее обозначение: [math]\|x\| = \varphi(x)[/math].

Приведём примеры норм для различных множеств:

• [math]X = \mathbb R[/math], [math]\|x\| = |x|[/math]
• [math]X = \mathbb R^n[/math], [math]\|\overline x\| = \sqrt{ \sum\limits_{k = 1}^n x_k^2 }[/math]. Неравенство треугольника для нормы — неравенство Коши для сумм.
• На [math]\mathbb R^n[/math] можно определить также другие нормы, например [math]\|\overline x\|_1 = \sum\limits_{k = 1}^n |x_k|[/math] или [math]\|\overline x\|_2 = \max \{\,|x_1|, |x_2|, \dots, |x_k|\,\}[/math]

Нормированным пространством обычно называют пару из линейного пространства и нормы на нём.