Изменения
→Полнота евклидова пространства
<tex>\|\overline x^{(m)} - \overline x\| = \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^n |x_j^{(m)} - x_j|^2} \le \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^n \frac{\varepsilon^2}n} = \sqrt{n \frac{\varepsilon^2}n} = \varepsilon</tex>, следовательно, утверждение доказано по определению предела.
}}
{{Теорема
|statement=
Пространство <tex>\mathbb R^n</tex> с евклидовой нормой является B-пространством.
|proof=
Надо установить, что из сходимости в себе следует существование предела по норме <tex>\mathbb R^n</tex>.
Если <tex>\|\overline x^{(m)} - \overline x^{(p)}\| \rightarrow 0</tex>, то для любого <tex>j</tex> выполняется <tex>|x_j^{(m)} - x_j^{(p)}| \rightarrow 0</tex>. По критерию Коши для числовых последовательностей из этого следует, что каждая из последовательностей <tex>x_j^{(m)}</tex> имеет предел, то есть, последовательность точек сходится покоординатно.
Но по доказанному ранее утверждению из покоординатной сходимости следует сходимость по норме, что и требовалось доказать.
== Пространство <tex>\el l^2</tex> ==
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
