Исчисление доменов и его реляционная полнота

Исчисление доменов

Определение:

Исчисление доменов — вид реляционного исчисления, в котором значения переменных принадлежат заранее определённым доменам.

Домен следует понимать как какое-то именованное множество допустимых значений для переменных. На современном языке, это понятие достаточно близко к понятию типа.

Введём синтаксис для указания типов переменных. Также введём предикат, будем называть его условием принадлежности, который для заданного отношения и значений атрибутов проверяет, есть ли совпадающий кортеж в отношении.

Синтаксис

Переменная :: Тип -- Переменная может принимать значения из какого-то типа. Тип == набор значений

 -- Условие принадлежности отношению
Отношение {
  Атрибут1 = Значение1,
  Атрибут2 = Значение2,
  ...
}

Примеры использования условия принадлежности

Следующий предикат будет истинным, если в отношении S найдётся кортеж (FirstName = 'Иван', LastName = 'Иванов') или, например (при наличии ещё одного атрибута), (FirstName = 'Иван', LastName = 'Иванов', Email = 'ivan@example.com') и ложным, если ни в одном кортеже не совпали все значения атрибутов с перечисленными

S{FirstName = 'Иван', LastName = 'Иванов'}

Имя атрибута может совпадать с именем переменной, это может поначалу немного запутывать. Слева от знака равенства стоит имя атрибута, справа - значение, с которым атрибут сравниваем

S{FirstName = FirstName, LastName = LastName}

Примеры запросов

Идентификаторы всех студентов

Запишем запрос для получения идентификаторов всех студентов. Можно представлять это так: единственная свободная переменная SId пробегает все возможные значения из домена (все возможные идентификаторы студентов), а в результирующее отношение попадают только те её значения, для которых реально существовал такой студент.

SId where S{SId = SId}

Идентификаторы студентов, не сдавших курс с CId=10

Также как и в исчислении кортежей, в исчислении доменов можно использовать кванторы. Студент не сдал курс, если у него нет положительных оценок за этот курс.

SId where ¬∃Points (Points ≥ 60 ∧ Points{SId = SId, Points = Points, CId = 10})

Реляционная полнота исчисления доменов

Выразим базис реляционной алгебры в исчислении доменов, тем самым докажем реляционную полноту исчисления доменов:

Проекция $\pi_{A_1, ..., A_n}(R)$

$A_1$, ..., $A_n$ from $R$ where $R${$A_1$ = $A_1$, ..., $A_n$ = $A_n$}

Фильтр $σ_θ(R)$

Выбираем только такие наборы значений $A_1$...$A_n$, которые есть в исходном отношении R и удовлетворяют условию θ

$A_1$, ..., $A_n$ from $R$ where $R${$A_1$ = $A_1$, ..., $A_n$ = $A_n$} ∧ $θ$

Переименовывание $ε_{A=expr}(R_1)$

expr as A from $R$ where $R${$A_1$ = $A_1$, ..., $A_n$ = $A_n$}

Объединение $R_1 ∪ R_2$

Выбираем только такие наборы значений $A_1$...$A_n$, что хотя бы в одном из отношений есть соответствующий кортеж

$A_1$, ..., $A_n$ where $R_1${$A_i$ = $A_i$} ∨ $R_2${$A_i$ = $A_i$}

Разность $R_1 ∖ R_2$

Выбираем только такие наборы значений $A_1$...$A_n$, что соответствующий кортеж есть в $R_1$, но нет в $R_2$

$A_1$, ..., $A_n$ where $R_1${$A_i$ = $A_i$} ∧ $¬R_2${$A_i$ = $A_i$}

Декартово произведение $R_1 × R_2$

Выбирает наборы значений $A_1$, ..., $A_n$, $B_1$, ..., $B_m$ такие, что $A_1$...$A_n$ есть в $R_1$, а $B_1$...$B_n$ есть в $R_2$

$A_1$, ..., $A_n$, $B_1$, ..., $B_m$ where $R_1${$A_i$ = $A_i$} ∧ $R_2${$B_j$ = $B_j$}

Естественное соединение $R_1 ⋈ R_2$

$A_1$, ..., $A_n$, $B_1$, ..., $B_m$, $C_1$, ..., $C_l$ where $R_1${$A_i$ = $A_i$, $B_j$ = $B_j$} ∧ $R_2${$C_k$ = $C_k$, $B_j$ = $B_j$}