Нормализация набора данных

Набор данных содержит в себе единицы измерения, которые отбрасываются, чтобы набор данных был просто числами. Но чтобы далее работать, нам нужно, чтобы все объекты были приведены к единому формату. С этим и помогает нормализация.

Нормализация применяется независимо к столбцу X.

Важно в sklearn.preprocessing есть метод normalize, но это не то, что нам нужно, он рассматривает нормализацию с геометрической точки зрения (представляет объект в виде вектора), а не по столбцам.

Минмакс, [0;1] масштабирование [math] x_{new} = \dfrac{x_{old} - \min[X]}{\max[X] - \min[X]}[/math]

После нормализации: [math]\min[X_{new}] = 0[/math] и [math]\max[X_{new}] = 1[/math]

Стандартизация, Z-масштабирование [math] x_{new} = \dfrac{x_{old} - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{D}[X]}[/math]

После нормализации: [math]\mathbb{E}[X_{new}] = 0[/math] и [math]\mathbb{D}[X_{new}] = 1[/math]

Декорреляция

Процесс, который используется для уменьшения корреляции.

рис.1 Декорреляция

1. Есть матрица X.

2. Матрицу центрировали ([math]\mathbb{E}[X_j] = 0[/math]).

3. Ковариация вычисляется по следующей формуле:

[math]\Sigma(X) = \dfrac{1}{N}X^TX[/math]

4. Если же матрица нормализована так, что [math]\mathbb{D}[X_j] = 1[/math], то из произведения мы получим не ковариационную, а корреляционную матрицу

5. Декорреляция вычисляется по формуле:

[math]\hat{X} = X \times \sum^{-1/2}(X)[/math]

где [math]\Sigma^{1/2}[/math] находится из разложения Холецкого

Утверждение:

После декорреляции: [math]\sum(\hat{X}) = I[/math]

[math]\triangleright[/math]

[math]\Sigma = \dfrac{X^TX}{n}[/math] [math]\hat{X} = X \times \Sigma^{-1/2}[/math] [math]\dfrac{\hat{X}^T\hat{X}}{n} = \dfrac{(X \times \Sigma^{-1/2})^T \times (X \times \Sigma^{-1/2})}{n} = \dfrac{\Sigma^{-T/2} \times X^T \times X \times \Sigma^{-1/2}}{n} = (\Sigma^{-T/2} \times \Sigma^{T/2})\times(\Sigma^{1/2}\times\Sigma^{-1/2}) = I \times I = I[/math].

[math]\triangleleft[/math]