Функциональные зависимости: замыкание, эквивалентность и правила вывода

НЕТ ВОЙНЕ

24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян. Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием. Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей. Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить. Антивоенный комитет России

Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.

meduza.io, Популярная политика, Новая газета, zona.media, Майкл Наки.

Замыкание множества функциональных зависимостей

Определение:

Замыкание множества функциональных зависимостей [math]S[/math] — множество всех функциональных зависимостей, обозначаемое [math]S^+[/math], которые следуют из заданного множества функциональных зависимостей [math]S[/math].

Построение

Set<E> buildClosure(s: Set<E>): 
  closure = Set<E>(s)
  changed = true
  while (changed): 
    changed = false
    for f in closure:
       for rule in rules:     //rules - правила вывода
         new_f = rule.apply(f, closure)
         changed = closure.add(new_f)    //add - возвращает true, если элемент был добавлен, false - иначе
  return closure

Эквивалентность множеств функциональных зависимостей

Здесь и далее [math]S, P[/math] — множества функциональных зависимостей.

Определение:

[math]S[/math] слабее [math]P[/math] ([math]P[/math] накрывает [math]S[/math]) тогда и только тогда, когда [math]S^+[/math] является подмножеством [math]P^+[/math]: [math]S \sqsubset P \Leftrightarrow S^+ \subset P^+[/math]

Определение:

[math]S[/math] эквивалентно [math]P[/math]: [math]S \equiv P \, \Leftrightarrow \, S \sqsubset P \; \textrm{and} \; P \sqsubset S \, \Leftrightarrow \, S^+ = P^+ [/math]

Оценка мощности замыкания

Для начала оценим количество тривиальных ФЗ на [math]n[/math] атрибутах. Количество способов выбрать [math]k[/math] атрибутов из [math]n[/math] для левой части ФЗ — [math]{\binom {n}{k}}[/math], количество способов выбрать непустое подмножество из левой части для правой — [math]2^k - 1[/math]. Известно, что [math]\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}=(1+x)^{n}[/math]. Значит количество тривиальных ФЗ: [math]\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(2^{k} - 1)=O(3^{n})[/math]. Заметим, что при построении замыкания нельзя не учитывать тривиальные зависимости, так как при применении правил вывода, правила композиции, например, к нетривиальной и тривиальной зависимостям можно получить в итоге нетривиальную зависимость. Получается, что мощность порядка [math]O(m3^n)[/math], где [math]m[/math] — количество базовых нетривиальных зависимостей.

На практике замыкания ФЗ не применимы, так как мощность в реальных приложениях слишком велика.

Задача минимизации ФЗ

Постановка задачи

Найти минимальное множество ФЗ эквивалентное заданному. То есть необходимо найти множество ФЗ [math]P[/math] такое, что замыкание [math]S[/math] и [math]P[/math] совпадают и множество [math]P[/math] имеет меньшую мощность, чем [math]S[/math]. Это позволит снизить нагрузку на базу данных. Но такой подход к решению задачи не применим на практике из-за большой мощности замыкания.