Алгоритм цифровой сортировки суффиксов циклической строки

Эта статья находится в разработке!

Постановка задачи

Дана строка [math]s[/math]. Требуется отсортировать все её суффиксы. Поскольку мы сортируем циклические сдвиги, то и подстроки мы будем рассматривать циклические: под подстрокой [math]s[i..j][/math], когда [math]i \gt j[/math], понимается подстрока [math]s[i..n-1] + s[0..j][/math]. Кроме того, предварительно все индексы берутся по модулю длины строки.

Решение

Рассматриваемый алгоритм состоит из примерно [math]\log n[/math] фаз. На [math]k-[/math]той фазе ([math]k=0..\lceil\log n\rceil [/math]) сортируются циклические подстроки длины [math]2^k[/math]. На последней, [math]\lceil\log n\rceil-[/math]ой фазе, будут сортироваться подстроки длины [math]2^{\lceil\log n\rceil} \ge n[/math], что эквивалентно сортировке циклических сдвигов.

На каждой фазе алгоритм помимо перестановки [math]p[0..n-1][/math] индексов циклических подстрок будет поддерживать для каждой циклической подстроки, начинающейся в позиции [math]i[/math] с длиной [math]2^k[/math], номер класса эквивалентности [math]c[i][/math], которому эта подстрока принадлежит. В самом деле, среди подстрок могут быть одинаковые, и алгоритму понадобится информация об этом. Кроме того, номера классов эквивалентности [math]c[i][/math], будем давать таким образом, чтобы они сохраняли и информацию о порядке: если один суффикс меньше другого, то и номер класса он должен получить меньший.

Описание алгоритма

На нулевой фазе мы должны отсортировать циклические подстроки длины [math]1[/math], т.е. отдельные символы строки, и разделить их на классы эквивалентности (одинаковые символы должны быть отнесены к одному классу эквивалентности). Это можно сделать сортировкой подсчётом. Для каждого символа посчитаем, сколько раз он встретился. Потом по этой информации восстановим массив [math]p[/math]. После этого, проходом по массиву [math]p[/math] и сравнением символов, строится массив [math]c[/math].

Далее, пусть мы выполнили [math]k-1-[/math]ю фазу (т.е. вычислили значения массивов [math]p[/math] и [math]c[/math] для неё). Научимся за [math]O(n)[/math] выполнять следующую, [math]k-[/math]ю, фазу. Поскольку фаз всего [math]O(\log n)[/math], это даст нам требуемый алгоритм с временем [math]O(n \log n)[/math].

Заметим, что циклическая подстрока длины [math]2^k[/math] состоит из двух подстрок длины [math]2^{k-1}[/math], которые мы можем сравнивать между собой за [math]O(1)[/math], используя информацию с предыдущей фазы — номера классов эквивалентности [math]c[/math]. Таким образом, для подстроки длины [math]2^k[/math], начинающейся в позиции [math]i[/math], вся необходимая информация содержится в паре чисел [math](c[i], c[i + 2^k])[/math].

Это даёт нам весьма простое решение: отсортировать подстроки длины [math]2^k[/math] просто по этим парам чисел, это и даст нам требуемый порядок, т.е. массив [math]p[/math]. Однако обычная сортировка, выполняющаяся за время [math]n \log n[/math], нас не устроит — это даст алгоритм построения суффиксного массива с временем [math]n \log^2 n[/math].

Воспользуемся здесь приёмом, на котором основана цифровая сортировка: чтобы отсортировать пары, отсортируем их сначала по вторым элементам, а затем — по первым элементам (обязательно стабильной сортировкой). Однако отдельно вторые элементы уже упорядочены — этот порядок задан в массиве от предыдущей фазы. Тогда, чтобы упорядочить пары по вторым элементам, надо просто от каждого элемента массива [math]p[/math] отнять [math]2^{k-1}\lt tex\gt — это даст нам порядок сортировки пар по вторым элементам (\lt tex\gt p[/math] даёт упорядочение подстрок длины [math]2^{k-1}[/math], и при переходе к строке вдвое большей длины эти подстроки становятся их вторыми половинками, поэтому от позиции второй половинки отнимается длина первой половинки).

Таким образом, мы производим сортировку по вторым элементам пар. Теперь надо произвести стабильную сортировку по первым элементам пар, её уже можно выполнить за [math]O(n)[/math] с помощью сортировки подсчётом.

Осталось только пересчитать номера классов эквивалентности [math]c[/math], просто пройдя по полученной новой перестановке [math]p[/math] и сравнивая соседние элементы (опять же, сравнивая как пары двух чисел).